2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版.docx

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1、1．3.2　函数的极值与导数　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0.(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0

2、.(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．1．对极值的认识(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．极值点是区间内部的点而不是端点．(2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．2．对函数取极值条件的认识(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值

3、点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在点x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．3．对函数极值点的认识(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)从曲线的切线角度看，曲

4、线在极值点处切线的斜率为0，并且曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．[注意]　如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　)(2)导数为0的点一定是极值点．(　　)(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　)(4)若一个函数在给定的区间内存在极值，则极值点一定在区间的内部．(　　)(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)

5、√函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个　　　　　　　B．2个C．3个D．4个答案：A函数y＝x3＋1的极大值是(　　)A．1B．0C．2D．不存在解析：选D.因为y′＝3x2≥0，所以y＝x3＋1在R上为增函数，故不存在极值．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________．解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，y′<0，函数是减函数，当－1

6、时，y′>0，函数是增函数，当x>1时，y′<0，函数是减函数，所以当x＝－1时，函数有极小值．当x＝1时，函数有极大值．答案：1　－1探究点1　求函数的极值或极值点　求下列函数的极值．(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝x2e－x.【解】　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值－3极大值－1由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－

7、3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值0极大值4e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝.函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0

8、的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)