2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用复习提升课学案新人教A版.docx

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1、第一章导数及其应用章末复习提升课　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　变化率与导数[问题展示]　(教材P10习题1.1A组T4)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8s，求转动开始后第3.2s时的瞬时角速度．【解】　设车轮旋转的角度为θ，时间为t，依题意有θ＝kt2(k＞0)．因为车辆启动后车轮转第一圈需要0.8s，所以2π＝k·0.82，k＝π，即θ＝t2.θ′(t)＝＝t，θ′(3.2)＝×3.2＝20π(rad/s)，即车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度为20πrad/s.车轮旋转开始后，多长时间，瞬时角速度可

2、以达到100πrad/s.【解】　由θ′(t)＝πt得100π＝πt，所以t＝16s，即车轮旋转开始后，16s时瞬时角速度可以达到100πrad/s.若a，b，t均为正值，且b＞a，求证：时间段[a，b]内的平均变化率小于时间段[a＋t，b＋t]内的平均变化率．【证明】　由θ＝t2知，在时间段[a，b]与[a＋t，b＋t]内的平均变化率之差K1－K2＝－＝－t.由于t＞0，所以K1－K2＜0，即K1＜K2.即在时间段[a，b]内的平均变化率小于时间段[a＋t，b＋t]内的平均变化率．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　导数的几何意义[问题展示]　(教材P1

3、8习题1.2A组T6)已知函数y＝xlnx.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．【解】　(1)因为y＝xlnx，所以y′＝(xlnx)′＝x′(lnx)＋(lnx)′·x＝1·lnx＋·x＝lnx＋1.(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x＝1处的切线斜率k＝y′

4、x＝1＝ln1＋1＝1.又当x＝1时，y＝1×ln1＝0，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y－0＝1·(x－1)，即x－y－1＝0.已知曲线y＝xlnx的一条切线方程为x－y＋c＝0.求切点坐标与c的值．【解】　因为y＝xlnx，所以y′＝1·lnx＋·x＝

5、lnx＋1.设切点为(x0，x0lnx0)．由切线方程x－y＋c＝0知，切线斜率k＝1.所以lnx0＋1＝1，即x0＝1，x0lnx0＝0.所以切点为(1，0)，所以1－0＋c＝0，即c＝－1.已知曲线C：y＝xlnx与直线l：y＝x＋b(b＜0)．若曲线C上存在点M到直线l的距离的最小值为.求b的值；【解】　将直线l平移与C相切于点M时，M即为存在的点，设M的坐标为(x0，x0lnx0)．由y＝xlnx得y′＝lnx＋1.所以y′

6、x＝x0＝lnx0＋1，因为直线l：y＝x＋b的斜率k＝1.所以lnx0＋1＝1，即x0＝1，故M的坐标为(1，0)．由点到直线的

7、距离得＝，所以b＝1或b＝－3，已知b<0，所以b＝－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数的极值、最值和零点[问题展示]　(教材P28例4、P30例5)已知函数f(x)＝x3－4x＋4.(1)求f(x)在R上的极值；(2)求f(x)在[0，3]上的最大值与最小值．【解】　(1)因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f′(x)＝x2－4.当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2，当f′(x)＞0时，x＜－2或x＞2，当f′(x)＜0时，－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0

8、－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)极大值＝f(－2)＝，f(x)极小值＝f(2)＝－.(2)由(1)知，f(x)在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，所以f(x)min＝f(2)＝－.又f(0)＝4，f(3)＝1.所以f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最小值为－，最大值为4.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值－.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[t，3]上有最小值－，求实数t的范围．【解】　(1)因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又f

9、(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值－，所以x＝－2和x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两个根．所以－＝0，①＝－4.②且a×(－2)3＋b×(－2)2＋c×(－2)＋d＝，③a×23＋b×22＋c×2＋d＝－，④上边四个式子联立解得a＝，b＝0，c＝－4，d＝4.所以f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)知f(x)＝x3－4x＋4的极小值为f(2)＝－，且f(3)＝1.所以要使f(x)在区间[t，3]上取得最小值－，所以t≤2，且f(t)≥－.即即所以－4≤t≤2，所以所求t的范围为[－4，2]．已知函数f(x)＝x3－4

10、x＋m.若f(x)有且仅