线性代数智能化教学系统全套配套课件第6节.ppt

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1、第2.6节矩阵的初等行变换引例矩阵的初等变换初等矩阵求逆矩阵的初等变换法先简单回顾一下中学如何解线性方程组．2.6.1引例引例1解关于x，y，z的方程组（１）解用加减消元法，可得代入第一个方程解出x，求得方程组（１）的解为当k-5时，方程组有唯一解，此时，由第三个方程解出z，代入第二个方程解出y，最后把y，z（２）当k=-5时，第三个方程变为0=18为一个矛盾方程，此时不论x，y，z取何值它都不成立，所以方程组无解．其几何意义如下图所示．a)k=1时的唯一解b)k=-5时无解图3-1方程组的几何意义引例1的求解实际上是反复地对方程组进行3．互换两

2、个方程在方程组中的位置．方程的两端；2．一个方程的两端乘以同一个数加到另一个1．用一非零数乘某一方程的两端；如下运算或变换，称之为线性方程组的初等变换：为了用矩阵来研究线性方程组，我们把线性方程组的初等变换移植到矩阵上去，定义矩阵的的初等变换．（2）以非零数k乘矩阵某一行（或列）的所有（或）；定义2.6.1对矩阵的行（或列）进行下列三种操作或变换之一，称为对矩阵进行了一次初等行（或列）变换：（或）；元素，记作（1）矩阵某两行（或列）互换位置，记作2.6.2矩阵的初等变换（3）把矩阵某一行（或列）所有的元素乘同一数加到另一行（或列）对应的元素上去，记

3、为（或）．矩阵初等行变换和矩阵初等列变换统称为矩阵初等变换．三种初等变换对应着三种初等矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算,它有着广泛的应用.下面我们进一步介绍一些有关知识.2.6.3初等矩阵定义2.6.2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.1.定义等矩阵,记为Pi,j.第i行第j行1.对调两行或对调两列把单位矩阵中第i,j两行对调(rirj),得初得初等矩阵,记为Pi(k).2.以数k0乘某行或某列以数k0乘单位矩阵E的第i行(rik),第i行初等矩阵,记为Pi+j(k).3.以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去

4、以数k乘E的第j行加到第i行上(ri+krj)[或以k乘E的第i列加到第j列上(cj+kci)],得第i行第j行由初等变换的可逆性得：性质1初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵，且(1)(2)2.性质A的右边乘相应的n阶初等矩阵.性质2设A是一个mn矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在这个性质我们不证明，只用下面的求解模型进行验证．有了初等变换和初等矩阵的概念，就可以给出定理2.6.1任意一个矩阵A＝(aij)mn经过若干次初等变换，可化为如下形式的矩阵D．2.6.4运用初等

5、行变换求逆矩阵求逆矩阵的另一种较为方便的方法．r阶单位矩阵由于对A进行初等变换化成了矩阵D，相当于有初等矩阵满足于是有：定理2.6.2如果A为可逆矩阵，则D=E．利用定理2.6.2可知，对于可逆矩阵A存在初等矩阵使得即于是我们有和上述两个式子说明：对A进行一系列的初等行变换可把A化成单位矩阵E，对E进行同样的这一系列初等行变换就得到A-1．由此得到求逆矩阵的另一种方法：Pt-1Pt-1-1...P1-1(AE)=(EA-1),Pt-1Pt-1-1...P1-1(AE)=(EA-1),A变成E时,原来的E就变成A-1.即对n×2n矩阵(AE)施行初等

6、行变换,当把由我们还可以得到Pt-1Pt-1-1...P1-1(AB)=(EA-1B),即也可用初等行变换求A-1B，或解矩阵方程AX=B．例1用初等行变换法求矩阵的逆矩阵．解其中例2用初等行变换法解矩阵方程AX=B,其中，解例3用初等行变换法解矩阵方程