线性代数智能化教学系统配套教学课件ppt适用于所有教材线性代数智能化教学系统 教学课件 ppt 作者 适用于所有教材 第8节.ppt

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1、流动问题希尔密码第2.8节矩阵的应用平面图形变换齐次坐标2.8.1流动问题流动问题主要有人口流动和物资流动问题，本例是人口流动问题，物资流动问题参阅习题．例1设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（１）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工来，6万人从事经商：（2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%改为经商；（3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%改为经商；（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%改为务工；现在想预测1，2年后从事各业人

2、员的人数，以及经过多年后，从事各业人员总数之间的发展趋势。解设xi,yi,zi表示第i年后分别从事农、工、商的人员总数，则x0=15，y0=9，z0=6，现要求x1，y1，z1和x2，y2，z2，并考察当n年后xn,yn,zn的发展趋势．根据题意，一年后从事农、工、商的人员总数为即其中将x0=15，y0=9，z0=6代入上式，得即一年后从事农、工、商的人员的人数分别为12.9万人、9.9万人、7.2万人．当n=2时，有进而推得即n年后从事农、工、商的人员的人数由An决定．2.8.2希尔密码1929年，希尔利用线性代数中的矩阵乘积运算，为了便于计算，希尔

3、首先将字符变换成数.设计了一种被称为希尔密码的代数密码．对英文字母，可以作如下变换：例如，0252423222120191817161514ZYXWVUTSRQPON13121110987654321MLKJIHGFEDCBA希尔密码的基本思想：将明文分成n个一组，用对应的数字代替，就变如果取定一个n阶的可逆矩阵成了一个个n维向量.将密文分成n个一组，同样变成n维向量，只需A（此矩阵称为密钥），用A去乘每一个向量，即可起到加密的效果.用A–1去乘这些向量，即可将它们变回原先的明文.两个问题：1）为了使数字与字符间可以互换，必须使用取自0~25之间的整数

4、；2）在解密时要用到逆矩阵，而可能会出现分数．解决的办法：引进同余运算，并用乘法来代替除法．考虑最简单的情况.令n=1，用数a去乘0~25中的数，以26为模取同余，并要求有使得或要求存在a–1，使得a–1a1(mod26)，经简单的分析即可发现，并非所有0~25中的数都可用来作为这里的a，事实上我们可以证明下面的a–1{0,…,25}，p{0,…,25}，有a–1app(mod26).称a–1为a的逆元素．定理：定理a{0,…,25}，若a–1{0,…,25},使得aa–1=a–1a=1(mod26)，则必有gcd{a,26}=1，其中

5、gcd{a,26}为a与26的最大公因数．由定理可知，0~26中除13以外的奇数均可取作这里的a，下面列出经计算求得的逆元素．2517511237193152191a–12523211917151197531a对于n为一般整数的情况，只需在乘法运算中结合应用取余，求逆矩阵时用逆元素乘来代替除法即可．希尔密码是以矩阵法为基础的，明文与密文的对应由n阶矩阵A确定．的，与明文分组时每组字母的字母数量n相同.果明文所含字数与n不匹配，则最后几个分量可任意补足．矩阵A的阶数是事先约定如希尔密码在解密时，用A–1左乘密文向量，即可还原为原来的明文向量．A–1的求法

6、可利用公式，例如，若取则

7、A

8、=3，查表知

9、A

10、的逆元素为9，于是即例2设明文为HPFRPIHTNECL，密钥矩阵为试用希尔密码体系给明文加密．实验系统例3设密文为DXNANIURJUOD，密钥矩阵为试将密文还原为明文．实验系统2.8.3平面图形变换1.线性变换定义10变换（或映射）T称为线性的，若(i)对T的定义域中的一切向量u，v，有T(u+v)=T(u)+T(v)(ii)对一切向量u和数k，有T(ku)=kT(u)．由定义可知，线性变换保持向量的加法运算和数与向量的乘法运算，由此可得线性变换的基本性质．性质若T是线性变换，则T(0)=0，且对T的

11、T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)定义域中一切向量u和v以及数c和d有：设有关系式(1)若记则(1)式可简记为y=Ax，(1)式确定了一个从Rn到Rn的映射，并且是一个线性映射，称为线性空间Rn中的线性变换，也称为矩阵变换．矩阵A称为该线性变换的矩阵，与线性变换一一对应.(1)2.平面图形变换设x，y为平面上的两个点（或R2中的两个列向量），A为22矩阵，则y=Ax为平面上的一个线性变换，把点x映射成点y．若x为平面图形G上的任一点，x的像y构成的图形记为G1，则线性变换y=Ax的几何意义是把图形G变成图形G1，称之为平面图形变换.平面图形变换

12、有三种基本变换：对称变换其他可逆变换均可由这三种变换复合而成．伸缩变换剪切（错切）变换关于原点