线性代数智能化教学系统全套配套课件第7节.ppt

《线性代数智能化教学系统全套配套课件第7节.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、引例秩的定义秩的求法第2.7节矩阵的秩秩的性质尚未证明,因此下面用另一种说法给出矩阵的秩的形矩阵时，所得到的行阶梯形矩阵不唯一，有行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的，这个数就是矩阵的秩.定义.但是由于这个数的唯一性引例表明，用初等行变换把矩阵化为行阶梯但所k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．mn矩阵A的k阶子式共有个．2.7.2定义定义2.7.1在矩阵A中,任取k行与k列(km,kn),位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在Ａ中所处的位置次序而得到的式的最高阶数．定义2.7.2设在矩阵Ａ中有一个不等于0的r阶子式D，全等于0，式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．矩阵的

2、秩等于0．由行列式的性质可知，在A中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此Ａ的秩R(A)就是A中不等于0的子且所有r+1阶子式（如果存在的话）那么D称为矩阵A的最高阶非零子并规定零由矩阵秩的定义可得：1）若矩阵A中有一个s阶子式不为0，则R(A)s；若A中所有t阶子式全为0，则R(A)

3、A

4、0时R(A)=n,当

5、A

6、=0时R(A)

7、阵)又称降秩矩阵.例1求下列矩阵的秩求秩模型从例1可知,对于一般的矩阵,当行数与列数较大时,按定义求秩的计算量很大.然而对于矩阵B,它的秩就等于非零行的行数,一看便知毋须计算.下面我们来探讨求矩阵秩的有效方法.定义2.7.3行阶梯形矩阵是指满足下列两个(1)矩阵的零行（元素全为零的行）全部位于非零行的下方；(2)各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上至下严格递增．条件的矩阵：2.7.3用矩阵的初等行变换求秩1.行阶梯形矩阵的定义等都是行阶梯形矩阵．其中■表示每一行的第一个非零元素，它可取任意非零值，在位置的元素可取任意值，包括零值．如例2试利用矩阵的初等行变换，把矩阵化成行阶梯形

8、矩阵．解2.行阶梯形矩阵的性质关于行阶梯形矩阵有以下性质：性质2.7.1行阶梯形矩阵的秩等它的非零行的若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵．性质2.7.2任意一个矩阵A=(aij)mn，经过性质2.7.3初等行变换不改变矩阵的秩．行数．由性质2.7.1、性质2.7.2和性质2.7.3可得如下结经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵，矩阵A定理2.7.1任意一个矩阵A=(aij)mn都可以的秩等于其相应阶梯形矩阵非零行的行数．论：根据定理2.7.1,为求矩阵的秩,只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.下面用该方法求矩阵的秩.3．矩阵秩的求法例3求

9、矩阵A的秩，其中解例4设求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式.单击这里开始解所以最高阶非零子式可用求出.求秩模型例5设已知R(A)=2，求a与b的值.单击这里开始解例6设求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩.单击这里开始解2.7.4矩阵秩的性质在本节的最后，我们再来介绍矩阵的秩的一个重要性质．秩矩阵，C是n阶满秩矩阵，则定理2.7.2设A是mn矩阵，B是m阶满R(A)=R(BA)=R(AC)．