线性代数 第一章行列式习题.ppt

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1、要求:1.知道n阶行列式的定义2.了解行列式的性质(包括按行(列)展开定理)3.掌握行列式的计算4.会用克莱姆(Cramer)法则第一章行列式9/18/20211例1.按定义计算下列n阶行列式(12…n)=0对角形第一节n阶行列式的定义9/18/20212(nn–1…1)=(n–1)+(n–2)+…+2+1=n(n–1)/2次对角形9/18/20213==下三角形上三角形9/18/20214=(nn–1…1)=(n–1)+(n–2)+…+2+1=n(n–1)/29/18/20215证明:由行列式的计算定义,有9/18/20216第二节行列式的性质与计算记号:9/18/

2、20217例1(p12-li1-4):计算行列式9/18/20218例2(p14-li5).证明奇数阶反对称行列式等于0.定义:当行列式中的元素满足,称此行列式为反对称行列式9/18/20219计算例3009/18/2021109/18/202111对只要重复以上过程，就可得9/18/202112对由于字母的地位对称,故做另外的分解又有（1）（2）联立(1)(2)得9/18/202113当时当时,通过计算还是有上面的结论.9/18/202114证明等式exe19/18/202115证:左边第1列减去第2,3列9/18/202116=右边=0=09/18/202117exe2计算行

3、列式解:D把c2,c3,c4列加到c1列c1×(–1)分别加到第2,3,4列=623=489/18/202118第三节Laplace展开定理基本思想:化高阶行列式为较低阶的行列式.定义:中,划去元素aij所在的第i行和第j行,得到的n–1阶行列式称为aij的余子式.在n阶行列式9/18/202119例1:元素–4(a12)的余子式为M12其代数余子式为A12=(–1)1+2M12=–99/18/202120例2.计算行列式解:D=c3+c4c4=－2c3+c1c19/18/202121按第3行展开按第3列展开=30+10=40r2=r1+r29/18/202122例3.设D是4

4、阶行列式,是D中的代数余子式,试用行列式表示下列代数式,其中p211i19/18/202123例4.计算2n阶行列式递推法P23li39/18/202124例5.证明Vandermonde行列式数学归纳法其中n>1.P23li42.Vandermonde行列式的第一行的元素为1,且每列的元素构成一等比数组.注:1.Vandermonde行列式的结论今后可以直接应用.9/18/202125用n阶行列式表示n元线性方程组(方程个数=未知数的个数)的解.定理1(Cramer法则)如果线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,a

5、n1x1+an2x2+…+annxn=bn的系数行列式………………………第四节Cramer法则9/18/202126例1:2x1+x2–5x3+x4=8x1–3x2–6x4=92x2–x3+2x4=–5x1+4x2–7x3+6x4=0求的解.解:系数行列式=270由克莱姆法则知方程组有唯一解.9/18/202127=81=–10889–5089–509/18/202128=–27=279/18/202129得故原方程组x1=3x2=–4x3=–1x4=12x1+x2–5x3+x4=8x1–3x2–6x4=92x2–x3+2x4=–5x1+4x2–7x3+6x4=0的解为9/18

6、/202130定理2:若n个未知量n个方程的齐次线性方程组如有非零解,则其系数行列式D必等于零.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,an1x1+an2x2+…+annxn=bn………………………（*）当b=0时,称(*)为齐次线性方程组,当时,称(*)为非齐次线性方程组.9/18/202131ax1+bx2+cx3+dx4=0bx1-ax2+dx3-cx4=0cx1-dx2-ax3+bx4=0dx1+cx2-bxn-ax4=0例2.设a,b,c,d为不全为0的实数,证明方程组只有零解.解.首先方程有零解.由定理2知,只要说明

7、系数行列式不为零即可.由laplace定理,只要按照第一行展开,即有=09/18/2021329/18/202133求的解.Exe:所以可以用Cramer法则求解.9/18/202134