高数二章课件04隐函数参数导数.ppt

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1、一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数2.4由方程所确定的函数的导数三、相关变化率一、隐函数的导数显函数与隐函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnxex都是显函数由方程F(xy)0所确的函数称为隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化例如方程xy310确定的隐函数为提示:例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数(ey)(xy)(e)(0)即eyyy+xy0隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.一、隐函数的

2、导数方程中每一项对x求导得解(xy)y+xy.(ey)eyy,例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

3、x0因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得解法一5y4y2y121x60根据原方程当x0时y0将其代入上述方程得2y10从而y

4、x005把方程两边分别对x求导数得解法二例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

5、x0解例3把椭圆方程的两

6、边分别对x求导得所求的切线方程为,解上式两边再对x求导得的二阶导数例4方程两边对x求导得yf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得对数求导法例5求yxsinx(x>0)的导数解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一上式两边对x求导得两边取对数得lnysinxlnxyxsinxesinx·lnx上式两边对x求

7、导得说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的例6先在两边取对数得解二、由参数方程所确定的函数的导数设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则例7解提示:讨论:已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?的函数yf(x)的二阶导数例9解(t2npn为整数)三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之

8、间的关系式求出未知的相关变化率内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习1.设求2.设由方程确定,求,求3.设求其反函数的导数.4.设1.设求提示:分别用对数微分法求答案:2.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①,求解：3.设方程组两边同时对t求导,得求其反函数的导数.解:方法1方法24.设等式两边同时对

9、求导