2015年《高考风向标》高考文科数学一轮复习第四课时第2讲导数在研究函数中的应用.ppt

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1、第2讲导数在研究函数中的应用1．函数的单调性与导数的关系单调递增一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内___________；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________.单调递减2．判别f(x0)是极大、极小值的方法极大值若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的______点，f(x0)是极大值；如果f′(x)

2、在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的________点，f(x0)是_________．极小值极小值1．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()CA．－2B．0C．2D．42．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点PA)A3．已知函数f(x)＝a3＋sinx，则f′(x)＝(A．3a2＋cosxB．a3＋cosxC．3a2＋sinxD．cosx4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋16的单调减区间为________．闭区间．(－1,11)5．函数y＝x3－3x＋9的极小值是____.7解析：y′＝(x3

3、－3x＋9)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈(－∞，1)时，y′＞0，函数y＝x3－3x＋9递增；当x∈(－1,1)时，y′＜0，函数y＝x3－3x＋9递减；当x∈(1，＋∞)时，y′＞0，函数y＝x3－3x＋9递增；当x＝1时，y极小值＝7.解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)＜0得单调减区间为(－1,11)．亦可填写闭区间或半开半考点1讨论函数的单调性例1：设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a、b的值；(2

4、)求函数f(x)的单调区间与极值点．解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题的a＝4用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．【互动探究】1．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．考点2导数与函数的极值和最大(小)值例2：已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最

5、大值为20，求它在该区间上的最小值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在(－1,3)上f′(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.故f(x)＝－x3＋3x2＋

6、9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.【互动探究】2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(－1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值．错源：f′(x0)＝0是f(x0)为极值的必要但不充分条件例3：已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________.误解分析：对f(x)为极值的充要条件理解不清，导致出现多解．【互动探究】3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图)C4－2－

7、2，则y＝f(x)的图像最有可能的是(图4－2－2解析：由导函数的图像知，导函数在x＝0和x＝2时的导函数值为0，故原来的函数y＝f(x)在x＝0和x＝2时取得极值．当x≤0或x≥2时，导函数值为正(或0)，当0＜x＜2时，导函数值为负，所以当x≤0或x≥2时函数y＝f(x)为增函数，当0＜x＜2时，函数y＝f(x)为减函数，故选项为C.考点3求参数的值或取值范围例4：已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c图像上的点P(1，－2)处的切线方程为y＝－3x＋1.(1)若函数f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)函数f(x)在区间[－

8、2,0]上单调递增，求实数b的取值范围．解题思路：已知f(x)在x＝x0处有极值，等价于f′(x)＝0；函数