2015年《高考风向标》高考理科数学一轮复习第四课时第2讲导数在研究函数中的应用.ppt

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1、第2讲导数在研究函数中的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内_____________.单调递增单调递减2．判别f(x0)是极大、极小值的方法若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的______点，f(x0)是极大值；如果f′(

2、x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的______，f(x0)是_______．极大值极小值极小值)D1．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为(A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()DA．2B．3C．4D．53．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上最大值与最小值分别()AA．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16A解析：y′＝ex＋xex＋2，斜率k＝e0＋0＋2＝3，所以，y－1＝3

3、x，即y＝3x＋1.考点1讨论函数的单调性例1：设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．y＝3x＋15．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_________.解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a，∵曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单

4、调递增，此时函数f(x)没有极值点．当x∈(－∞，－a)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x∈(－a，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．本题出错最多的就是将(1)中结论a＝4用到(2)中．【互动探究】1．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．考点2导

5、数与函数的极值和最大(小)值例2：设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)0.所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)9，因此c的取值范围为(－∞，

6、－1)∪(9，＋∞)．【互动探究】考点3构造函数来证明不等式例3：已知函数f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，若xf′(x)>f(x)在x>0时恒成立．(2)求证：当x1>0，x2>0时，有f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．所以函数g(x)＝因为xf′(x)>f(x)，所以g′(x)>0在x>0时恒成立，f(x)x在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数g(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上是增函数，所以当x1>0，x2>0时，两式相加得f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．≤ln(x＋1)≤x.－1＝－x＋1【互动探究】3．已

7、知函数f(x)＝ln(x＋1)－x.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若x＞－1，证明：1－1x＋1(1)解：函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1x＋1x.由f′(x)＜0及x＞－1，得x＞0.所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(2)证明：由(1)知，当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.因此，当x＞－1时，f(x)≤f(0)，即ln(x＋1)－x≤0，－1，－.x＋1所以ln(x＋1)≤x.令g(x)＝ln(x＋1)＋1x＋1则g′

8、(x)＝11x＋1(x＋1)＝2x(x＋1)2当x∈(－1,0)时，g′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0.所以当x＞－1时，g(x)≥