数的发展简史.doc

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1、数的发展简史——校本课程数是数学最基本的研究对象，也是在一切科学技术和社会领域中必不可少的工具.本讲主要讨论数的概念的形成与扩展，数的运算与性质等内容.这些知识,对于掌握、驾驭中学代数教材，都是十分必要的.一、数的发展简史数是各种具体的量的抽象.从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照以下的逻辑顺序进行的：自然数（添正分数）-一正有理数（添零）-T非负有理数（添负数）-一有理数（添无理数）-一实数（添虚数）-一复数自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展

2、和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数.这个过程大致可以分为三个阶段.在第一阶段，物体集合的性质，是由物体间的直接比较确定的.我国古代传说的结绳记数便属于这一阶段•在第二阶段，出现了数词，如三头牛、五只羊等等.这时，还没能把单个的数从具体物体的集合中分离出来.在第三阶段，认识到每一个单个的数，是物体集合的一种性质，把数从具体物体的集合中分离出来，形成了抽象的自然数（正整数）概念，并有了代表它的符号.从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观

3、测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，正分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引进正分数，这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零”的概念.后来，在生产实践中，需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零•公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.但是，把“0”

4、作为一个数是很迟的事.引进数0,这是数的概念的第二次扩充.以后，为了表示具有相反意义的量，负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前580~前500）学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至

5、于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾・16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，大胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用，成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面，我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念

6、的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺（G.Peano,1855~1939）、康托尔（G.Cantor,1845~1918）、戴德金（R.Dedekind,1831〜1916）、外尔斯特拉斯（LWeierstrass,1815-1897

7、）等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的•作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是（自然数集）（整数集）（有理数集）（实数集）（复数集）科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能

8、力，关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是：自然数集（添零）一扩大的自然数集（添正分数）-算术数集（添负有理数）-有理数集（添无理数）一实数集（添虚数）-复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非