线性代数二次型讲义教学教案.ppt

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1、线性代数通识教育平台数学课程系列教材第五章二次型第一节二次型及其标准形第二节正交变换法化二次型为标准形第三节化二次型为标准形的其他方法第四节二次型的分类第五节二次型在直角坐标系下的分类1．了解二次型及其矩阵表示。2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。本章学习要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）

2、三级来表述。二次型就是二次多项式.在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程是ax2+2bxy+cy2=f(1)方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式.为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换(坐标变换),把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程a'x'2+c'y'2=f(2)在二次曲面的研究中也有类似的问题.考察：方程表示xy平面上一条怎样的曲线？图形如何？将xy坐标系逆时针旋转π/4，即令则得此曲线在新的uv坐标系下的方程上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子中的交叉项，使之成为标准方程.而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变

3、换.综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项式.二次型就是二次齐次多项式.定义第七章二次型与二次曲面二次齐次多项式f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz称为实二次型.其中aij为实常数.一、二次型的矩阵表示§1、二次型及其标准形取a21=a12,a31=a13,a32=a23,从而,2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.f=a11x2+a12xy+a13xz+a21yx+a22y2+a23yz

4、+a31zx+a32zy+a33z2=x(a11x+a12y+a13z)+y(a21x+a22y+a23z)+z(a31x+a32y+a33z)第七章二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形=XTAX.称A为二次型f的矩阵，它是一个对称矩阵.三元实二次型f三阶实对称矩阵A一一对应AX例2第七章二次型与二次曲面例11251111解上一页,例2第七章二次型与二次曲面上一页例2若二次型f的矩阵为试写出f.解例2第七章二次型与二次曲面练习1341010解上一页,例2第七章二次型与二次曲面上一页练习若二次型f的矩阵为试写出f.解定义1第七章二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形n元二次型及

5、其矩阵表示称n元实二次齐次式为n元实二次型.记aij=aji,则记X=(x1,x2,…,xn)T,A=(aij)nn,则f(x1,x2,…,xn)=XTAX,其中A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.第七章二次型与二次曲面①由于aij=aji,所以AT=A,②A中aii是xi2的系数,aij是交叉项xixj系数的一半.注:n元实二次型fn阶实对称矩阵A一一对应定义2称只含平方项的二次型为标准二次型.n元标准二次型fn阶对角矩阵一一对应第七章二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形二、矩阵间的合同关系思考：二次型f=XTAX经过满秩线性变换X=CY后还是二次型吗?对于二次型f

6、=XTAX，作满秩变换X=CY,则f=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y.而(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC,所以f=YT(CTAC)Y仍是关于新变量Y的二次型,且二次型的矩阵为对称矩阵B=CTAC.满秩变换X=CYf=XTAXF=YTBYB=CTAC定义3第七章二次型与二次曲面对于n阶实对称矩阵A和B，若存在可逆矩阵P使PTAP=B则称A合同于B，记作AB因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.上一页合同矩阵的性质：XTAXYTBY经满秩的线性变换X=PYAB左乘以PT且右乘以P定义如果满秩变换X=CY将二次

7、型f=XTAX化成了标准二次型的一个标准形.为f=XTAX上一页§1、二次型及其标准形三、二次型的标准形这样的矩阵C是否存在？定理1对任意的实二次型f=XTAX,一定存在满秩线性变换X=CY,使二次型化为标准形.推论1任意给定一个实对称矩阵A,一定存在可逆矩阵C,使得CTAC为对角矩阵.定义§2.正交变换法化二次型为标准形回顾：正交变换的概念设是n维欧氏空间Rn上的线性变换，若对任意的X,YRn,有

8、

9、(X)(Y)

10、

11、=

12、

13、XY

14、

15、,则称为Rn上的正交变换.第七章二次型与二次曲