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1、第一节二元函数第六章二元函数微分学一、二元函数的概念及几何意义1．二元函数的定义引例1矩形面积与长，宽有下列依赖关系,，其中长和宽是两个独立的变量，在它们变化范围内，当,的值取定后，矩形面积有一个确定的值与之对应.引例2在医学上，研究机体对某种药物的反应时，某种反应与药量(单位)和时间(小时)之间的关系为其中为常数（可允许给予的最大药量）.这里变量依赖于两个变量，的取值.第一节二元函数第六章二元函数微分学上述三引例的具体含义不同，若仅从数量关系来研究，它们有共同的属性，抽出这些共性，对照一元函数，可以给出二元函数的定义.定义1设有三个变量,,,如果对于变
2、量,在它们的变化范围内所取的每一对值，变量都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称为，的二元函数,记做或其中,称为自变量，称为函数（或因变量）.自变量,的变化范围称为函数的定义域D.全体函数值构成的集合称为函数的值域即一、二元函数的概念及几何意义第一节二元函数第六章二元函数微分学值域=一、二元函数的概念及几何意义二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域.平面区域：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性（如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线段连接起来，这样的部分平面称为具有连通性）的部分平面，称为平面区域，简称区域.二元函数的
3、定义域通常为平面区域.边界:围成区域的曲线称为区域的边界.闭域:包括边界在内的区域称为闭域.开域:不包括边界在内的区域称为开域.第一节二元函数第六章二元函数微分学无界区域有界区域:如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为有界区域.邻域:把满足不等式的点的全体称为点的邻域.一、二元函数的概念及几何意义第一节二元函数第六章二元函数微分学练习1求二元函数的定义域.解由根式函数的要求知道，自变量即函数的定义域为其几何图形为平面上位于直线右方的图6-1半平面（如图6-1所示）.所取的值必须满足一、二元函数的概念及几何意义xy0第一节二元函数第六章二元函数微
4、分学练习2求二元函数的定义域.解自变量所取的值必须满足不等式且即函数的定义域为其几何图形为平面上位于直线之间的阴影部分（如图6-2所示）.图6-2一、二元函数的概念及几何意义xy0第一节二元函数第六章二元函数微分学2．二元函数的几何意义一元函数通常表示平面上的一条曲线．oxyzZ=f(x,y)MDxy图6-3二元函数,,其定义域是平面上的一个区域，对于任取点,其对应的函数值为,于是得到了空间内的一点.所有这样确定的点的集合就是二元函数的图像，通常是一张空间曲面（如图6-3所示）．一、二元函数的概念及几何意义第一节二元函数第六章二元函数微分学二、二元函数的
5、极限与连续1.二元函数的极限二元函数的极限研究的是当点时，对应的函数值的变化趋势.由于二元函数的自变量有两个，自变量的变化过程比一元函数的自变量变化过程更为复杂.这里表示点以任何方式趋于点，也就是点与点间距离趋于0与一元连数的极限概念类似，如果在的过程中，对应的函数值无限接近于一个确定的常数A，我们就说A是函数当时的极限.即第一节二元函数第六章二元函数微分学定义2设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果当点以任何方式趋近于点时，总是无限地趋近于一个确定的常数，则称常数为函数在,时的极限，记作或()注意：在二元函数极限的定义中，以任何方式趋近于是指平的面上点
6、以任意路径无限趋近于点.二、二元函数的极限与连续第一节二元函数第六章二元函数微分学如果点只取某些特殊方式，如沿一条给定的直线或给定的曲线无限趋近于,则即使这时函数值无限趋近于某一确定的常数，也不能判定函数的极限就一定存在.二、二元函数的极限与连续第一节二元函数第六章二元函数微分学练习3讨论二元函数当时，极限是否存在.解当沿轴趋于点时，即，所以当沿轴趋于点时，即二、二元函数的极限与连续第一节二元函数第六章二元函数微分学所以其极限值是随直线斜率的不同而不同,因此不存在.一元函数极限的有些运算法则（如四则运算法则，夹逼定定理等）可以相应的推广到二元函数.二、二
7、元函数的极限与连续当沿直线趋于点时，第一节二元函数第六章二元函数微分学练习4求解这里函数的定义域为,由积的极限运算法则，得==二、二元函数的极限与连续第一节二元函数第六章二元函数微分学2.二元函数的连续性与一元函数的情形一样，利用函数的极限就可以说明二元函数在一点处连续的概念.定义3设二元函数在点的某个邻域内有定义，若（6-1）则称二元函数在点处连续．若函数在区域上每一点都连续，则称函数在区域上连续.如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断，点称为间断点.二、二元函数的极限与连续第一节二元函数第六章二元函数微分学与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在有界
8、闭区域上连续的二元函数有如下性质:性质1(最大值,最小值)定理 有界闭区域上连续
