函数极限与连续.ppt

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1、1.1函数1.2极限的概念1.3极限的运算1.4函数的连续性第1章函数极限与连续结束当自变量x取数值时，与对应的因变量y的值称为函数在点处的函数值,记为或.当x取遍D内的各个数值时,对应的变量y取值的全体组成定义1设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一个数值时，变量x按照某种对应法则f总有一个确定的数值y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作称D为该函数的定义域.记为Df．称x为自变量，称y为因变量.1.1.1函数的概念数集称做这个函数的值域.记为Zf。1.1函数1.1.2函数的表示法例1已知某商品的总成本函数为：例2某工厂全年1—6月原材料进货数量如下表，这里

2、表达的是时间和原材料进货数量之间的关系．T(月)123456Q(吨)111012111212(1)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数.(2)表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出(3)图示法用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y之间的关系.例3需求函数与供给函数.,如图.P表示商品价格,Q表示需求量,供给量,E点为需求和供给平衡点．SSEQPOQ=φ(P)Q=f(P)说明三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互补充。例4求函数的定义域(1)函数的定

3、义域和对应法则是函数的两个主要要素。注:(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则它们是相同的函数．(4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.解当分母时,此函数式都有意义因此函数的定义域为例5求函数　　　　　　　　　的定义域.所以函数的定义域为　　与.解　要使函数y有定义，必须使这两个不等式的公共解为解当时,函数值设有函数,问它们是否为同一个函数.例6由于与的定义域不同,所以它们不是同一个函数.但是的定义域而在点无定义其定义域为在实际问题中,有时会遇到一

4、个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数称为分段函数．例如符号函数是一个分段函数，它的定义域为分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数.f(x)的定义域是[0,2]，例7当时,当时,定义设y是u的函数，y=f(u)，，而u是x的函数，并且的值域包含f(u)的定义域，即，则y通过u的联系也是x的函数，称此函数是由y=f(u)及复合而成的复合函数，记作1.1.3复合函数并称x为自变量，称u为中间变量.例8分析函数是由哪几个函数复合而成.解复合而成,并易知其定义域为例9求由函数组成的复合函数并求其定义域.解由于的定义域为与u=3x–1的值域

5、有公共部分，由于必须，从而，故复合函数的定义域是.所以由它们可以组成复合函数例10设解(1)幂函数幂函数的定义域随的不同而不同.1.基本初等函数(是常数)当为无理数时,规定的定义域为指数函数的定义域为.当a>1时，它严格单调增加；当01时，它严格单调增加；当0

6、nx),lnx称为自然对数.这里e=2.7182818……，是一个无理数.(4)三角函数常用的三角函数有：正弦函数y=sinx;余弦函数y=cosx;y=sinx与y=cosx的定义域均为，它们都是以为周期的函数，都是有界函数.数，并且在开区间内都是无界函数.正切函数y=tanx;余切函数y=cotx;tanx与cotx是以为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sinx,tanx及cotx是奇函数，cosx是偶函数.此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其中.它们都是以为周期的函(5)反三角函数三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx和y=cot

7、x的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数2初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.初等函数都可以用一个公式表式大部分分段函数不是初等函数是非初等函数定义3设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数，其值域为Zf,对任意y∈Zf,如果有唯一确定的满足y=f(x)的x∈Df与之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数，我们称它为函数y=f(x)的反