高一柱、锥、台、球的表面积与体积.doc

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1、年级高一学科数学内容标题柱、锥、台、球的表面积与体积编稿老师刘震一、学习目标了解空间几何体的表面积和体积的计算公式,能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积.二、重点、难点重点：会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.难点：几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积.三、考点分析近几年的高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式，学会运用等价转化思

2、想把组合体的求积问题转化为基本几何体的求积问题，会把立体问题转化为平面问题求解，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用.与本将内容有关的题目一般以选择题、填空题的形式出现，属基础或中档题.1.多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、

3、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长.2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h（即πr2l）πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径.知识点一：柱、锥、台体的表面积例1：三棱锥中，为等边三角形，侧面积是底面积的2倍.，且该三棱锥的高，为的中

4、心，且垂直于内任意直线，求其表面积.思路分析：构造棱锥的高、斜高所在的直角三角形，利用方程思想求解解答过程：设该三棱锥底面边长为，侧面的高为，如图，过作，，.，..，.即.，.，，.解题后的思考：构造直角三角形，利用勾股定理来建立方程，求得未知量的方程思想在计算中经常用到.知识点二：柱、锥、台体的体积例2：已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的体积.思路分析：利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下

5、底面的面积，代入公式即可.解答过程：如图所示，、是上、下底面的中心，连结、、，在平面内作于.是边长为2的等边三角形，是中心，，同理，则.在中，，，，即棱台高为cm.所以三棱台的体积为（cm3）.解题后的思考：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法.例3：在边长为的正方体中，，，分别是棱，，上的点，且满足，，，试求三棱锥的体积.思路分析：若用公式直接计算三棱锥的体积，则需要求出的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥的体积，便能很容易

6、的求出其高和底面的面积，从而代入公式求解.解答过程：.解题后的思考：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据.例4：如图，在三棱柱中，，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比.思路分析：截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.解答过程：设棱柱的底面积为，高为，其体积.则三角形的面积为.由于，则剩余不规则几何体的体积为.所以两部分的体积之比为.解题后的思考：在求一个几何

7、体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算.知识点三：几何体的侧面展开图例5：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.思路分析：求几何体表面上的最短距离问题一般都是利用展开图，将几何体展开，把空间问题平面化，然后利用“两点之间线段最短”的性质求解.解答过程：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.甲、乙、丙三个图形中AC

8、1的长分别为：=，=，=，∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为.解题后的思考：要注意长方体展开图的几种不同的情况，不要遗漏.知识点四：根据三视图求几何体的表面积或体积例6：已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S思路分析：根据三视图所提供的信息，先确定该几