重积分的概念与性质.ppt

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1、06十月20211第八章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分06十月20212主要内容第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算方法06十月20213第一节二重积分的概念与性质第八章（Conceptionandpropertyofdoubleintegral）一、二重积分的概念二、二重积分的性质三、小结与思考练习复习：一元定积分问题的实例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入

2、n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束06十月20217一、二重积分的概念解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”06十月202181)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域

3、以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体06十月202194)“取极限”令06十月202110有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.2.平面薄片的质量06十月2021112)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量06十月202112两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)

4、所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:06十月202113将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,定义06十月202114曲顶柱体体积:平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作06十月202115二重积分存在定理:若函数定理2定理1在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,则在D上可积.在有界闭区域D

5、上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有06十月202116二、二重积分的性质06十月20211706十月202118利用性质506十月202119内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)06十月202120思考与练习被积函数相同,且非负,解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:06十月2021212.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

6、变量x有奇偶性时,仍有类似结果.在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则在第一象限部分,则有补充：积分对称性