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1、重积分的概念与性质二、重积分的概念一、问题的提出三、重积分的性质第一节第九章一、问题的提出平顶柱体体积的计算公式:柱体体积=底面积×高.1.曲顶柱体的体积回顾特点：平顶.曲顶柱体:底为xOy面上的闭区域D，曲顶为连续曲面侧面为以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面.特点：曲顶曲顶柱体的体积=？变高xyzo解决方法:类似于定积分解决问题的思想“分划,近似,求和,取极限”.步骤如下：1º分划划分D为n个小区域:以它们为底把曲顶柱体分为n个小曲顶柱体,2º近似3º求和4º取极限令则有定义的直径为Di的面积，在每
2、个Di上任取一点二、重积分的概念设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域D1，作乘积并作和D2,…,Dn,设i表示第i个小闭区域定义9.11.二重积分的有关概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为注1º各小闭区域的直径中的最大值是指：3º二重积分存在性定理:若函数命题1在D上可积.在有界闭区域D上连续,则2º在二重积分的定义中,对闭区
3、域的划分是任意的.一般地，4º二重积分的几何意义命题2除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续,若有界函数在有界闭区域D上则在D上可积.在直角坐标系下用平行故二重积分可写为D则面积元素为特例D来划分区域D,坐标轴的直线定义9.2将区域的体积，任取一点并用各小闭域直径的最大者.作乘积有界函数,表示用表示第i个小闭域是定义在有界闭区域设上的任意分成n个小区域2.三重积分的定义在并称I为在闭区域则称函数记作即若存在一个常数I,使上的三重积分.上可积,称为体积元素,在直角坐标系下常写作称为积分变量，定积分，二重积及三重
4、积分可推广为多重积分:注其中I表示积分区域，I上的有界n元函数，n可取表示定义在称为被积函数，三、重积分的性质(以二重积分为例）性质1（线性性质）为常数.性质2（关于积分区域的可加性）其中无公共内点.其中三重积分具有与二重积分类似的性质D1D2D则若在D上则推论1若在D上推论2特别地,由于性质3（保序性）例1比较下列积分的大小:其中解与x轴的交点：(1,0),(3,0).（方法1）D的边界为圆周：从而而域D位于直线的上方,与直线相切.故在D上,（方法2）解例2xyO性质4（估值性质）设D的面积为则有二重积分
5、估值不等式的几何意义:由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,证由性质4可知,从而命题成立.性质5（中值性质）例3估计下列积分之值解由于积分性质4即1.96I2.DD的面积为二重积分中值定理的几何意义性质6（对称性）DD1xyO在有界闭区域D上连续，DD2xyODD3xyOD则11xyzO例4解关于x=0对称关于x为奇函数关于y=0对称关于y为奇函数D的面积故有利用二重积分的性质估计二重积分例5解D而tyO故(1)重积分的有关概念内容小结二重积分的几何意义(2)
6、重积分的性质线性性质关于积分区域的可加性保序性对称性中值性质估值性质
