《不定积分的概念》PPT课件.ppt

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1、4.1不定积分的概念与性质.4.2基本积分公式和直接积分法.4.3换元积分法和分部积分法.4.4定积分的概念及其性质.4.5定积分的计算.4.6定积分的应用4.7广义积分第四章积分及其应用14.1不定积分的概念与性主要内容:1.不定积分的概念.2.不定积分的性质.3.不定积分的几何意义.2一、不定积分的概念1、引例2、原函数概念3、原函数存在定理4、不定积分概念5、不定积分的例子31、引例已知自由落体的运动速度v=gt，求自由落体的路程公式．由导数的力学意义可知，速度联想到并且常数的导数为0．所以于是路程为又当t=0时s(0)=0，代入上式得C=0

2、，故所求的路程公式为解设自由落体的路程为4该物理问题是已知速度求路程．抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算．这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题．就引例引出的思考：5设函数f(x)在区间I上有定义，若存在函数F(x)，使得对于I上的任一点x，都有则称函数F(x)为f(x)在I上的一个原函数．由于常数C的导数是0，因此若一个函数有原函数，那么它就有无穷多个原函数。设F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C(C是任意常数)都是f

3、(x)的原函数，而且只F(x)+C才是f(x)的原函数。2、原函数概念定义16某区间上的连续函数一定存在原函数．3、原函数存在定理由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，因而初等函数在其有定义的区间上存在原函数．定理17设F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分，记为:即积分号被积函数被积表达式积分变量积分常数4、不定积分概念定义28因为所以的不定积分求5、不定积分的例子例1解9当x>0时，所以当x<0时，所以因此，不论x>0或x<0，都有公式的不定积分求例2解10二、不定积分的性质求不定积分与求导数

4、(或微分)互为逆运算，即有：可见，微分号与积分号相遇时可以抵消，但先微分后积分，最后需加任意常数C.11解两边同时求导，得f(x)=2x从而有故所求不定积分为例312三、不定积分的几何意义函数f(x)的原函数F(x)的图象称为f(x)一条积分曲线,不定积分表示全体原函数F(x)+C,所以不定积分在几何上表示曲线y=F(x)沿y轴上下平移

5、C

6、个单位而得到的一族积分曲线。由性质（1）可知，这一族积分曲线上相对于同一横坐标x0的点的切线斜率相等，即这些切线互相平行。13Oyxx0几何意义图示14求过点（0,0）,且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标

7、的余弦值,求此曲线.设所求曲线为y＝f(x),(x,y)为曲线上任一点，由此可求得又曲线过点（0,0）,代入上式得C=0，于是所求的曲线为y=sinx若要求出积分曲线族中的一条特定曲线，就必须另外附加条件，根据这个条件确定积分常数C的值，就可以求出所需曲线。题中的“曲线过点（0,0）”就是这个附加条件。例4注意：由导数的几何意义可知解151、原函数在某区间上，若F′(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。且f(x)的原函数有无穷多个，F(x)+C是f(x)的全体原函数。2、不定积分f(x)的不定积分即f(x)的全体原函数F(x)+C，

8、即求f(x)的不定积分是先求f(x)的一个原函数F(x)再加任意常数C。求不定积分和求导数是互为逆运算，可以用求导来检验积分结果的正确性。四、小结163、不定积分的几何意义f(x)的原函数F(x)的图象称为f(x)的一条积分曲线，在几何上称为f(x)的积分曲线族，族中的曲线上相对于同一横坐标的点的切线斜率相等，即切线不定积分互相平行。17作业：习题4.118