迭代法解非线性方程

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1、求解非线性方程的迭代法数学软件一、迭代法原理二、弦截法三、牛顿法四、小结一、迭代法原理1.迭代法的思想迭代法是数值计算中的一类典型方法，不仅用于方程求根，而且可用于方程组求解，矩阵求特征值等许多问题。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个粗糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足给定的精度为止。迭代法的关键在于构造递推公式。构造f(x)=0的一个等价方程：从某个近似根x0出发，计算得到一个迭代序列k=0,1,2,......(x)的不动点f(x)=0x=(x)等价变换f(x)的零点当迭代序列收敛时，称迭代公式收敛或迭代收敛，否则称迭代发散。这种求

2、非线性方程根的方法称为迭代法。迭代公式迭代函数2.迭代法的收敛性关于迭代法的收敛性与迭代函数之间的关系，我们不加证明地给出如下几个定理。2.迭代法的收敛性定理1的两个条件有时较难验证也较难满足，这时常用的是局部收敛条件。所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻域是收敛的。关于局部收敛有如下的定理。3.迭代法的局部收敛性4.收敛的阶为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念：特别地,1阶收敛称为线性收敛，2阶收敛称为平方收敛；若p=1,c=0时，通常称为超线性收敛.显然，p越大收敛越快。4.收敛的阶定理3可以利用泰勒展开式加以证明二、弦截法1.弦截法的算法过程(1)过两点(a,f(a

3、)),(b,f(b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1;(2)如果f(a)f(x1)<0,过两点(a,f(a)),(x1,f(x1))作一直线,它与x轴的交点记为x2,否则过两点(b,f(b)),(x1,f(x1))作一直线,它与x轴的交点记为x2；(3)如此下去,直到

4、xn-xn-1

5、

6、ction[root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数三、牛顿法1.牛顿法的基本思想用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法，对于非线性方程f(x)=0,将f(x)在xk处作Taylor展开,去掉高阶项后得如果f(xk)≠0,用xk+1代替x,由f(x)=0可得下列迭代公式2.牛顿迭代公式称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式,简称牛顿法。牛顿法具有明显的几何意义，是曲线在点(xk,f(xk))处的切线方程。xk+1就是切线与x轴交点的横坐标

7、，所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标近似代替曲线与x轴交点的横坐标。因此牛顿法也称切线法。牛顿法几何解释3.牛顿法的收敛速度经计算得因此,若x*是f(x)=0的单根,则牛顿法是至少2阶收敛的；进一步分析还可以发现,当x*是f(x)=0的重根时,牛顿法只是1阶收敛的，并且重数越高，收敛越慢。牛顿法的迭代函数4.牛顿法的编程实现functionroot=newton1(f,a,b,e)%牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点function[root,n]=newton2(f,a,b,e)%牛顿法求函数f在区

8、间[a,b]上的一个零点%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数四、小结1.迭代法原理2.弦截法3.牛顿法作业