概率论与数理统计 (14).ppt

《概率论与数理统计 (14).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第四章随机变量的数字特征从第二章和第三章可知,只要知道了随机变量的概率分就能完整地刻画随机变量的性质．然而在许多实际问题中一方面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机变量的某种特征就可以了．用来描述随机变量某种特征的量称之为随机变量的数字特征.本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念．§4.1数学期望一、数学期望的概念某射手在每次射击中命中的环数服从如下布：可以看出:该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机变

2、量X的可能取值与其对应的概率乘积之和．一般地，为刻画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义二、离散型随机变量的数学期望定义4.1设X为离散型随机变量，其分布列为若级数绝对收敛,即,则称级数的和为随机变量X的数学期望(Expectitiong),记为,即（4—1）若级数不绝对收敛，则称X的数学期望不存在．在定义中，要求绝对收敛是必须的，因为X的数学期望是一个确定的量，应不受在级数中的排列次序的影响，这在数学上就是要求级数绝对收敛．由（4－1）知，X的数学期望实际上是其所有取值关于其相应概率为权重的加权平均．当X的取值为有限个，一定存在，但当X的取值为无限多个时，就必须要求级数绝对收

3、效，才存在．设X是一维随机变量，是X的函数，则的数学期望可由（4—1）求出，但此时需要知道的概率分布律．不过,由于是X的函数，还可以通过X的概率分布律间接求出的数学期望，这就是下面的公式：若绝对收敛，则．（4—2）（证略）类似地，我们还有若的联合分布律为是二元连续函数，则的数学期望为（4—3）（证略）当然,我们也可以先求出的分布律,再计算的数学期望．三、连续型随机变量的数学期望定义4.2设X为连续型随机变量，其概率密度函数为,若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为，即（4—4）否则X称的数学期望不存在．类似地，设X是连续型随机变量，其概率密度函数为，是一元已知函

4、数，若绝对收敛，则的数学期望为（4—5）设是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为是二元已知函数，若绝对收敛，则的数学期望为（4—6）四、数学期望的性质性质1.设c是常数，则；（4—7）性质2.若X和Y相互独立，则；（4—8）性质3.；（4—9）性质4.;(4—10)性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形上，即若，，…,相互独立，则（4－11）上式简记为=．证明只给出性质3和性质4在连续型情形下的证明.设是连续型随机变量，概率密度函数为，边缘概率密度函数为，，于是又若X和Y相互独立，则=,于是，