高数课件3-6导数在经济上的应用举例.ppt

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1、§4.7导数在经济中的应用一.边际分析与弹性分析二.函数最值在经济中的应用8/22/2021作者：郭健§4.7导数在经济中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微分)在经济中的一些简单的应用.边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性分析.一.边际分析与弹性分析8/22/2021作者：郭健1.边际函数定义1经济学中,把函数ƒ(x)的导函数称为ƒ(x)的边际函数.在点x0的值称为ƒ(x)在x0处的边际值(或变化率、变化速度等).8/22/2021作

2、者：郭健在经济学中,通常取Δx=1,就认为Δx达到很小(再小无意义).故有实际问题中,略去“近似”二字,就得ƒ(x)在x0处的边际值.经济意义:即当自变量x在x0的基础上再增加一个单位时,函数f(x)的改变量.例1某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数为8/22/2021作者：郭健求:(1)日产量75件时的总成本和平均成本;解(1)日产量75件时的总成本和平均成本(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量C(75)/75=106.08(元/件)(2)当日产量由75件提高到90件时,总

3、成本的平均改变量;(3)当日产量为75件时的边际成本.C(75)=7956.25(元)8/22/2021作者：郭健(3)当日产量为75件时的边际成本注当销售量为x,总利润为L=L(x)时,称为销售量为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润.例2某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.8/22/2021作者：郭健解(1)总利润函数为L(x)=R(x)–C(x)边际利润函数为(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和3

4、00公斤时的其经济意义:当日产量为200公斤时,再增加1公斤,则总利润可增加1元.当日产量为250公斤时,再增加1边际利润分别是公斤,则总利润无增加.当日产量为300公斤时,再增加1公斤,则反而亏损1元.8/22/2021作者：郭健结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的2.弹性弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时,所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量.,反而使企业无利可图.零点时8/22/2021作者：郭健定义2若函数y=ƒ(x)在点x0≠0的某邻域内有定义,分别为自变量x与ƒ(x)在点x0处的相对增量.

5、则称Δx和Δy分别是x和y在点x0处的绝对增量,并称定义3设y=ƒ(x)当时,极限则称极限值为函数f(x)在x0点处的弹性,记为8/22/2021作者：郭健由弹性定义可知(1)若y=ƒ(x)在点x0处可导.则它在x0处的弹性为(3)弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关.的经济意义是：在x0处,当x发生1％的改变,(4)弹性函数为则ƒ(x)就会产生的改变.时，x与y的变化方向相同(相反).8/22/2021作者：郭健例3当a、b、k为常数时,求下列函数的弹性函数及在点x=1处的点弹性,并阐述其经济意义.η(1)的经济意义是:函数ƒ(x)在x=1处,当b>

6、0时,x增加(或减少)1%,当b<0时,x增加(或减少)1%,解ƒ(x)就增加(或减少)b%;ƒ(x)就减少(或增加)–b%.8/22/2021作者：郭健例4某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.注任何需求函数对价格之弹性,均满足(a是常数),求：(1)需求弹性函数(通常记作);解8/22/2021作者：郭健在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(Δp>0)或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.8/22/2021作者：郭健(1)若(称为高弹

7、性)时,则ΔR与Δp异号.此时,降价(Δp<0)将使收益增加;提价(Δp>0)将使收益减少;(2)若(称为低弹性)时,则ΔR与Δp同号.此时,降价(Δp<0)将使收益减少;提价(Δp>0)将使收益增加;从而有结论:(3)若(称为单位弹性)时,则.此时,无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响.8/22/2021作者：郭健由此对例4而言:当p=4时,(低弹性),当p=4.35时,(单位弹性),此时,降价、提价对收益没有明显的影响;当p=5时,(高弹性),此时降价使收益增加;提价使收益减少.此时降价使收益减少;提价使收益增加;8/22/2021作者：郭健例5某商品的

8、需求量为2660单位,需