高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）12-4 幂级数.ppt

《高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）12-4 幂级数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四讲幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算函数项级数的所有收敛点的全体称为其收敛域,设为定义在区间I上的函数项级数.为定义在区间I上的函数,称函数项级数的概念函数项级数的收敛点和发散点对若常数项级数收敛,的收敛点,为函数项级数称若常数项级数发散,为发散点.称函数项级数的收敛域和发散域所有发散点的全体称为其发散域.在收敛域上有函数项级数的和函数的和函数,并写成在收敛域上,函数项级数的和是x的函数，称其为函数项级数即注和函数的定义域即为收敛域.函数项级数的余项若用表示函数项级数前n项和

2、,即为函数项级数的余项.称注例收敛域：（-1，1）发散域：和函数：幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算形如的函数项级数称为幂级数,其中常数称为幂级数的系数.以后着重讨论的情形,即幂级数概念注发散发散收敛收敛发散阿贝尔(Abel)定理幂级数的收敛域则适合不等式的一切x使这幂级数绝对收敛.如果幂级数当时收敛,反之,如果级数时发散,的一切x使这幂级数发散.则适合不等式当幂级数在(－∞,+∞)收敛;由阿贝尔定理可得,用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为中心的区间.则R=0幂级数

3、仅在x=0收敛;R=幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点收敛半径在[－R,R]外发散;处可能收敛也可能发散.在(－R,R)发散发散收敛收敛发散注R收敛区间.收敛域幂级数收敛半径的求法定理例1求下列幂级数的收敛半径和收敛域:例2的收敛半径.求幂级数例3求幂级数的收敛域.其中的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径如果是幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中四则运算定理逐项微分和积分时,须注意端点处的敛散性.分析运算定理的收敛半径则其

4、和函数在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:若幂级数注例4的和函数.求幂级数例5的和函数.求幂级数例6的和函数.求幂级数