2011走向高考数学9(b)-5

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1、●基础知识一、空间直角坐标系如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做，常用i，j，k来表示．在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫，这时我们说建立了一个，点O叫原点，向量i，j，k都，通过每两个坐标轴的平面，分别称xOy平面、yOz平面、zOx平面．单位正交基底空间直角坐标系O－xyz叫坐标平面叫坐标向量坐标轴作空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°.对于空间任一向量a，由空

2、间向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系O—xyz中的，记为a＝对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在惟一的有序实数组x，y，z，使＝xi＋yj＋zk，即点A的坐标为．坐标(a1，a2，a3)．(x，y，z)二、向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝；a－b＝；a·b＝；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3

3、a∥b⇔a＝λb⇔，，(λ∈R)或(b1，b2，b3均不为0)．a⊥b⇔a·b＝0⇔.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝；a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(x2－x1，y2－y1，z2－z1)这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．三、夹角和距离公式在空间直角坐标系(图)中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，其中dA，B表示A与B两点间的距离，这就是空间

4、两点间的距离公式．四、如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．a⊥α解析：上述解法混淆了“a的单位向量”、“与a平行的单位向量”这两个不同概念，与a平行的单位向量与a同向或反向．分析：上述解法过程没有错误，只是最后一步出错，原因是混淆了异面直线所成的角和向量的夹角．●回归教材1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，下列叙述中正确的个数是()①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x，－y，z)②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x，－

5、y，－z)③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x，－y，z)④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)A．3B．2C．1D．0答案：C2．已知向量a＝(－1,1，－1)，b＝(2,0，－3)，则a·b等于()A．－5B．－4C．2D．1解析：a·b＝－1×2＋1×0＋(－1)×(－3)＝1.答案：D答案：D若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求实数k的值；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求实数k的值．[分析]利用性质进行求解．【例2】如图，在直三棱柱ABC－A1

6、B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．[思路点拨]在图中找出三条两两垂直且共点的直线，以它们为坐标轴建系求解．[解析]∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长分别为AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．[温馨提示]利用坐标系解题时，一定要巧建坐标系，找准所需点的坐标．(2004·浙江，19)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF＝1，M是线段EF的中点．(

7、1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF；(3)求二面角A－DF－B的大小【例3】(2009·宁夏、海南，19)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．[解析]解法一：(1)连结BD，设AC交BD于O.由题意SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以

8、AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.因为边OP在面SBD内，又由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，即二面角P－AC－D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.(2007·江西九校3月)如下图所