2011走向高考数学9(a)-2

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1、●基础知识一、直线和平面的位置关系一条直线a和平面α的位置关系有且只有三种：1．直线在平面内——有个公共点，记作；2．直线和平面相交——有公共点，记作；3．直线和平面平行——没有公共点，记作.无数a⊂α且只有一个a∩α＝Aa∥α二、直线与平面平行的判定和性质1．直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理．①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．②(判定定理)如果一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号语言表示，即.平面外a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α③如果平面

2、外的两条平行直线中有一条和这个平面平行，那么另一条也和这个平面平行．④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面．⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面．2．直线和平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面，那么这条直线和平行．用符号语言表示为：.a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b相交交线三、直线与平面垂直的判定和性质1．直线和平面垂直的判定①(定义)如果一条直线和平面内垂直，那么这条直线和这个平面垂直．②(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示

3、为：.③(判定定理2)如果两条平行直线中的一条一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示为：.所有直线都两条相交直线都a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，l⊥a，l⊥b，则l⊥α垂直于a∥b，a⊥α，则b⊥α④(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号语言表示为：.⑤(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．用符号语言表示为：.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．用符号语言表示为：.α⊥β，α∩β＝b，α⊂β，a⊥b，则a⊥αα∥β，a⊥β，则

4、a⊥αβ⊥α，γ⊥α，β∩γ＝a，则a⊥α⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．用符号语言表示为：.则a⊥αa⊥c，b⊥c，a、b、c交于一点A，b⊂α，c⊂α，a⊥b，2．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．用符号语言表示为：.3．斜线在平面内的射影①过一点向平面引垂线，叫做这点在这个平面内的射影．从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过的直线叫做斜线在这个平面内的射影．②射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：a⊥α，b⊥α，则a∥b垂足垂足和斜足(1)射影相等的两条斜线段，射影较长的斜线段；(2)相

5、等的斜线段的射影，较长的斜线段的射影；(3)垂线段比都短．相等也较长相等也较长任何一条斜线段4．三垂线定理①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果，那么它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果，那么它也和这条斜线的射影垂直．和这个平面的一条斜线的射影垂直和这个平面的一条斜线垂直5．“三余弦”定理如图所示，AB和平面M所成的角是α，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β，设∠BAC＝θ，则α、β、θ满足关系为cosθ＝cosαcosβ.这就叫做“三余弦”定理(别名：爪子定理)．注意定理中的条件是“从一定点出发的三条射线组成的三个面中有两个面相互

6、垂直”．●易错知识一、性质理解错误1．如果α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线l、mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β解题思路：对于A，l和m应相交；对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l和m应相交．故选D.失分警示：对于A，实际上是面面平行的判定定理，但直线必须相交；对于B，只考虑三点在同侧而没有考虑异侧；对于C易丢l和m相交这一条件．答案：D二、对线面垂直的定义、定理或性质理解不透2．一条直线垂直于一个平面内的无数条直线

7、，则这个平面内的无数条直线的位置关系是________．答案：平行或相交三、三垂线定理应用错误3．斜线上任意一点在平面上的射影，一定在________．答案：斜线的射影上4．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，则AD与BC的关系是________．答案：垂直●回归教材1．若直线a在平面外，则有()A．a∩α＝∅B．a与α有且仅有一个交点C．a与α平行D．a与α的交点至多有一个解析：直线在平面外包括两种情况：①直线与平面平