§6.2等差数列及其前n项和

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1、§6.2等差数列及其前n项和高效梳理gaoxiaoshuli,课前必读·知识备考●等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差．●等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n＞m)．●等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有A＝.等差数列的前n项和公式.●等差数列的判定方法(1)定义法：an－an－1＝d(

2、常数)(n≥2)．(2)等差中项法：2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．(3)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列．(4)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．●等差数列的性质(1)等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增．若d＜0，则数列递减．若d＝0，则数列为常数数列．(2)等差数列的简单性质：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①若m＋n＝p＋

3、q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．④S2n－1＝(2n－1)an.⑤若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．⑥数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．(3)等差数列的最值若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，①若a1＞0，d＜0，且满足则前n项和Sn

4、最大；②若a1＜0，d＞0，且满足则前n项和Sn最小；③除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.考点自测kaodianzice,课前热身·基础备考1．(2009·安徽)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18答案：B解析：∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.又∵a2＋a4＋a6＝99，

5、∴3a4＝99，a4＝33.∴d＝a4－a3＝－2，∴an＝a3＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41.令an≥0，得2n≤41，n≤.又∵n∈N*，∴使Sn达到最大值的n为20.2．(2009·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()A．1B.C．2D．3答案：C答案：B4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．5B．4C．3D．2答案：C解析：方法一：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，①S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9

6、＝15，②①－②得15＝5d，∴d＝3.方法二：∵n＝10，∴S偶－S奇＝d＝5d＝15，∴d＝3.5．(2008·海南、宁夏)已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝__________.答案：15题型突破tixingtupo,互动探究·方法备考题型一tixingyi,等差数列中基本量的计算【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.规律方法：（1）等差数列问题的

7、一般求解方法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化条件列方程（组）求解．（2）等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n，首项a1和第n项an，则利用，如果已知项数n，首项a1和公差d，则利用．创新预测1已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解析：(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3，∴a1＝2，公差d

8、＝a2－a1＝2.由即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，∴a＝3，k＝50.题型二tixinger,等差数列的判定与证明【例2】(2009·湖北高考题改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－()n－1＋2(n为正整数)．(1)令bn＝2nan，求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(