数值分析课后习题.pdf

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1、第1章绪论1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x1.1021,x0.031,x385.6,123x56.430,x71.0.4522.求方程x56x10的两个根，使它至少具有4位有效数字78327.982。第2章函数插值1.给出f(x)ln(x)的数值表x0.40.50.6lnx-0.916291-0.693147-0.510826x0.70.8lnx-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。xx2.4x4上给出f(x)

2、e的等距节点函数表，若用线性插值求e的近似值，要使截6断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？740170183.f(x)xx3x1，求f[2,2,,2]及f[2,2,,2].4.求一个次数不高于4次的多项式P(x)使它满足P(0)P(0)0，P(1)P(1)1,(2)1P。5.证明若F(x)f(x)g(x)，则F[x,x,x]f[x,x,x]g[x,x,x]01n01n01n6.已知实验数据如下：1925313844xi19.032.349.073.397.8yi2用最小二乘法求形如yabx的经验公式。7.设

3、数据(x,y)(i0,1,2,3,4)由表3-1给出，表中第4行为lnyy,可以看出数学模型iiiibx为yae，用最小二乘法确定a及b。i01234x1.001.251.501.752.00iy5.105.796.537.458.46iy1.6291.7561.8762.0082.135i8.给定如下数值x01.512f(x)1.002.501.255.50（1）求函数f(x)的差商表；(2)用牛顿插值公式求三次插值多项式Nx()。3第三章数值积分1.分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分：1x9（1）dx，n8；(2)xdx，n4.04x2

4、11x2.若用复化梯形公式求积分edx，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有0效数字？3.给定求积公式,试确定求积系数，使之代数精度尽可能高。2a(1)f(x)dxAf(a)Af(0)Af(a)，2a10111(2)fxdx()[(1)2()3()]ffxfx12134.用龙贝格算法求积分直到第五位小数不变。31（1）dx1x1sinx（2）dx0xb5.若f''(x)0，证明用梯形公式计算积分f(x)dx所得结果比较精度值大，并说明几a何意义。1x6.用梯形公式及辛普森公式求积分edx的近似值。估计误差.07.fx(

5、)在[-1，1]上有二阶连续导数，11（1）写出以xx,为插值节点的fx()的一次插值多项式Lx()；011331（2）设想要计算fxdx()，以Lx()代替fx()，写出求积公式；11（3）写出其代数精度。第四章非线性方程求根21.用二分法求方程xx10的正根，使误差小于0.05．322.若将方程xx10写成下列几种迭代函数形式，求不动点附近的一个根，并建立相应的迭代公式．32（1）x(x)1x；11（2）x(x)1；22x1（3）x(x)．3x1试判断由它们构成的迭代法在x1.5附近的收敛性．选择一种收敛的迭代法，

6、求在1.5附0近有4位有效数字的根，3.给定函数fx，设对一切x，fx存在且0mfxM，证明对于范围2*0内的任意定数，迭代过程xk1xkfxk均收敛于fx0的根x．M24.设(x)xc(x3)，应如何选取c，才能使迭代x(x)具有局部收敛性？ck1k取何值时，这个迭代收敛最快？5.设f(x)0有单根x*，x(x)是f(x)0的等价方程，(x)可表示为()xxmx()*()fx，11证明：当m(x*)时，迭代公式x(x)是一阶收敛的；当m(x*)时，k1kf'(x*)f'(x*)

7、迭代公式x(x)至少是二阶收敛的．k1kmA7.常数A的m次根可由对方程xA0或10用Newton迭代法求得，验证它们mx相应的Newton迭代格式分别为1Axk1(m1)xkm1，mxkm11xkxk1(m1)xk．mA8.设x*为f(x)的m重零点，若将Newton迭代法修改为f(x)kxxm，(k0，1，)，k1kf'(x)k证明：此迭代格式具有2阶收敛速度．a9.应用牛顿法于方程fx10，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的2x值．10.证明迭代公式2xx3akkx