求复数模的最值的常用策略.pdf

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1、18数学通讯　　　　　　　　　　　　　2003年第7期求复数模的最值的常用策略于润兴(石家庄市42中,河北050061)中图分类号:O122.1　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2003)07-0018-02　　复数的模是复数中的重要概念之一,复数z的评注此例是把求复数模的最值问题转化成了模

2、z

3、是其对应点Z到原点的距离(复数模的几何一元二次方程问题,并利用其根的存在性确定所求意义).复数模的最值问题既是复数问题中的一个重的最值.点,也是一个难点.其最常用的策略有:用函数思想、用代数法求复数模的最值时,要注意转化成的方程思想可将问题转化为代数法或三角法,用数形代

4、数问题要有利于求最值.否则,就需要改变转化方结合思想可将问题转化为几何法,用重要的不等式向,即变换解题策略,寻求新的解题方法.公式可将问题转化为不等式法.下面我们就来分别2　用几何法求最值举例说明这几种策略.用几何法求复数模的最值,就是利用已知的复1　用代数法求最值数方程所表示的图形和复数模的几何意义,把问题用代数法求复数模的最值,在这里是指把问题转化为求圆半径的最值或求一定点与曲线上点的距转化为求代数中的最值问题来解决.离的最值.例1已知复数z满足

5、z-(2+3i)

6、+

7、z-例3已知复数z满足(2-3i)

8、=4,试求

9、z

10、的最值.条件

11、z-3-4i

12、=2,求

13、z

14、的最值.解设z=x+y

15、i(x,y∈R),则已知条件可化解记

16、z

17、=r,则

18、z

19、=为2r和

20、z-3-4i

21、=2表示如2y(x-2)+=1.4图1所示的圆O和圆O′,且于是有

22、z

23、=x2+y2=x2+4[1-(x-2)2]

24、OO′

25、=5.图1　例3图2于是,由题设可知圆O和动圆O′相交或相切.828=-3x-3+3(1≤x≤3),所以,当动圆O′和圆O外切时,r有最小值,且2rmin=

26、OO′

27、-2=3,即

28、z

29、min=3.从而可求得

30、z

31、min=1,

32、z

33、max=21.3而当动圆O′和圆O内切时,r有最大值,且评注把求复数模的最值问题转化成了一次函rmax=

34、OO′

35、+2=7,即

36、z

37、max=7.数或二次函数在

38、闭区间上的最值问题.此例的一般题型是“已知:z1,z2是两个不等的例2已知复数z适合方程

39、z-i

40、=

41、z+2-复常数,r为正实常数,且

42、z-z1

43、=r(z∈C),试3i

44、,求

45、z-2+i

46、的最小值.求

47、z-z2

48、的最值.”例2也可用这一方法求解.解记

49、z-2+i

50、=r,并设z=x+yi(x,y∈评注用几何法求复数模的最值要充分利用已R),则已知方程和

51、z-2+i

52、=r分别可化为222知复数方程所表示的曲线之形状,一般都是在动圆y=x+3和(x-2)+(y+1)=r.和曲线相切时,动圆的半径才取得最值.在解具体问消去方程中的y,可得22题时还常常用到平面几何或平面解析几何的相关知2x+4x

53、+20-r=0(x∈R).2识.于是,有Δ=16-8(20-r)≥0.3　用三角法求最值从而解得r≥32,即得所求的最小值为32.收稿日期:2002-10-15作者简介:于润兴(1960-),男,辽宁宽甸县人,河北石家庄市42中高级教师.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.2003年第7期　　　　　　　　　　　　　数学通讯19用三角法求复数模的最值,一般都是通过引进+

54、z-4+5i

55、.复数的三角形式或复数方程的代数方程之参数形式利用题设可知42-3≤

56、z+i

57、≤42+3.(以角为参数的),将复数模转

58、化为角参数的三角函评注值得注意的是,用这种方法求复数模的数,即将求复数模的最值问题转化成了求三角函数最值,要特别考虑等号成立的充要条件.如果不存在的最值问题.z使等号成立,那么此方法就失效了.2例4已知复数z的模为1,求

59、z+z+1

60、的最例如,若

61、z

62、=1,则33值.u=

63、z-3z-2

64、≥

65、z

66、+

67、-3z

68、+

69、-2

70、=3解由

71、z

72、=1知,z可记为z=cosθ+isinθ,且

73、z

74、+

75、-3z

76、+2=6,即u的最大值为6,此时等号23z…z=

77、z

78、=1.成立.但取等号时,三个复数z,-3z,-2的对应向223所以

79、z+z+1

80、=

81、z+z+z…z

82、量是同向的,即三者均为复实数.因

83、z

84、=1,所

85、以z=

86、z

87、·

88、z+1+…z

89、=

90、2cosθ+1

91、.=-1,且-3z=-3,而这两个方程无公共实数解,2故cosθ=1时,

92、z+z+1

93、取最大值为3;而即等号不成立.故6不是所求的最大值.(具体求法1见例8)cosθ=-时,取最小值为0.24.2　利用有关的均值不等式求最值例5已知复数z适合

94、z-3

95、=5,求

96、z-1-2例7设关于x的方程x+zx+4+3i=0有4i

97、的最值.实数根,求

98、z

99、的最小值.解据条件可设z-3=5+(cos