知识讲解1.1.1正弦定理.doc

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1、1.1.1正弦定理　【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即；等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，，（1），（2）（3），，；，，要点二、正弦定理

2、及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导第9页共9页证明：，，，即：，，，∴．斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+=两边同乘以单位向量，得(+)=，即∴，∵，，，，，∴，∴，同理：若过作垂直于得：∴，（2）当为钝角三角形时设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：．法二：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为，则，第9页共9页∴，∴（为的外接圆半径）同理：，故：（2）当为钝角三角形时如图，.法三：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故

3、，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。要点三、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.第9页共9页有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，

4、还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.要点四、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有

5、无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：第9页共9页例1．已知在中，，，，求和B.【答案】【解析】，∴，∴，又，∴．【总结升华】1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看

6、出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，已知，，，求、.【答案】，根据正弦定理，∴.【变式2】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2．在，求和，．【解析】由正弦定理得：，∴，（方法一）∵，∴或，第9页共9页当时，，（舍去）；当时，，∴．（方法二）∵，，∴，∴即为锐角，∴，【总结升华】1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式1】在中，，，，求和．【答案】∵

7、，∴，∵，∴或∴当时，，；∴当时，，；所以，或．【变式2】在中,,,求和；【答案】∵，∴∵，∴或①当时，，；②当时，（舍去）。第9页共9页【变式3】在中，，,,求.【答案】由正弦定理，得.∵,∴，即∴类型二：正弦定理的综合运用例3.在△ABC中，，。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长。【解析】（Ⅰ）∵C=π-（A+B）,∴tanC=-tan（A+B）=-又∵0

8、题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力