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1、Newton插值多项式利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，拉格朗日插值公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数（i（x）（i=0丄・・・少）均要随之变化，不得不重新计算所有插值基函数厶（兀），这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，引入了出具有承袭性质的牛顿插值多项式，首先介绍在牛顿插值中需要用到的差商计算。♦差商••-为一系列互不相等的点，称Y_Y1-14)f（x）关于点xi,xj的一阶差商，记为f-xi,©］,即Xi—Xj类似于高阶导数的定义，称一阶差商的差商f[xrxk]为fM关于XiM
2、pXk的二阶差商，记为/［兀”©,林］.一般地，称/［兀0眄,・・•，兀一1］一/［州,兀2，・••以订为f（x）关于兀0，兀1厂•rxk的k阶差商，记为・/1兀0，西,・・・,兀_］］一・/1坷,兀2，・・・，境］函数/（兀）关于兀0的零阶差商即为函数/（兀）在兀0的函数值,/［%o］=/（%0）o容易证明，差商具有下述性质：⑴各阶差商均具有线性性，即若fM=a（p（x）+，则对任意正整数£，都有/[x0,xp-・•，兀J=d0[Xo，X],・・•，兀J+b肖[兀0，兀],・・・，兀J（2）k阶差商/［兀0,兀1，…，耳］可表示成＜/
3、*（兀0），于（兀）…（忑）的线性组合。5叭宀,…—幺（呂-观）…a-和）…3-耳）_f/(兀)/=0级+1(兀)苴中瓦+3）=11（旺—厂）'>0j知用归纳法可以证明这一性质。k=1是显然的。£=2时伽,“]=皿S凶兀0一兀2%—西/（兀0）
4、/（K）
5、/（勺）（兀0—西）（兀0一兀2）（州—兀0）（州—兀2）（兀2一兀0）（兀2—州）（1_16）（3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变。如f[xz.,xy]=f[xpx/]兀0—兀2/Ui)/[x^XpXj=f[x^xk,Xj]=f[xrx/9xj（4）若/（x）是兀
6、次多项式，则一阶差商/!兀兀]是兀一1次多项式。事实上，如果/（X）是〃次多项式，则P（x）=f（x）-f（xi）也是〃次多项式，且心）=0。于是可分解为P(x)=(x-xi)Pn_l(x)其中代_1（兀）为〃一1次多项式。所以f[x,Xi]==(一兀)粘⑴=仃心)x-xtx-xt为〃一1次多项式。♦计算差商按照差商定义，用两个k-1阶差商的值计算k阶差商，通常用差商表的形式计算和存放（见表1）。由于差商对节点具有对称性，可以任意选择两个k-1差商的值计算k阶差商。£「九兀1宀]-九兀0內]_/[x09x2]-/[x0,x1](M8)J
7、!_兀0,兀1，尤2」——表1茅商表Xk加）一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商•••Xof(Xo)X]f(Xi)X。Avf(X2)f[X
8、,X2]血Q疋必』X3f(X3)f[X2,X3]f[xi,x2,x3]血必丄迦凶1X4fgf[X3,X4]f[x2,x3,x4]f[xi,x2,x3,x4]血曲2曲凶1X5f(X5)flX4X5Jf[X3,X4,X5
9、f[X2,X3,X4,X5]f[x1,X2,X3,X4,X5]【例1】给定函数y-f（%）的函数表-2012/U)171217写出函数》=fM的差商表。解差商表如下：（写牛顿插值多项式）/
10、（兀）1阶养商2阶养商3阶并商-21701-812132171571♦牛顿插值（根据差商定义推导牛顿插值多项式）根据差商定义，扌巴兀看成［a,b］上一点，可得x-x0左右两端乘(X—兀0)移项得/W=/Uo)+/[九兀0](兀一兀0),二阶差商：几兀內眄]=,整理得：X-Xjf[x,X0]=/[x0,%!]+f[x,xo,%!](%-Xj),同理：/[兀,兀0,…，£_1]=于[兀0，兀1，・・・，兀」+/[兀,兀0，・・・,兀」(兀一£)只要把后一式代入前一式，就得到/W=f(x0)+f[x0,xi](x-x0)+f[x0,x[,x2
11、](x-x0)(x-xi)+-+于[兀0，兀1，・・・，£](兀_兀0)・・・(兀_£_1)+于[兀，兀0，兀1，兀」®+1⑴=Nn(x)+Rn(x)其中Nn(x)=f(x0)+f[x0,兀1](兀一兀0)(1-19)(1-20)+/[x(),x^x2](x-X())(x_兀1)—+/[XO,«--,XJ(X-Xo)---(X-Xn_1)Rn(x)=/W-Nn(x)=f[x,兀0,…心]%(x)©+1⑴二(―x())(—X])…(―£)/(x)=N〃(Q+&⑴显然,NAx)是至多“次的多项式。而由Rn(xi)=a)n^(xi)f[xi,
12、xl,x2,-^xn]=()(i=0丄2,…少)即得/（兀）=Nn（石）（i—。丄Z…“）。这表明Nn（x）满足插值条件Nn（xJ=f（xJ二％,因而它是fW的兀次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Ne毗
