随机变量的概率分布与数字特征.ppt

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1、第一节离散型随机变量及其概率分布第二章随机变量的概率分布与数字特征一、随机变量在第一章中，我们曾提及随机变量，我们把“用来表示随机试验结果的变量”称为随机变量。例2-1观察些列随机试验的结果与数值之间的关系。（1）掷一颗骰子出现的点数。（2）一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿，则女儿中为该疾病携带者的人数。（3）采用某种新药对10名患者进行治疗，治愈的患者人数。（4）一个肝硬化病人的Hp感染情况，可能出现阳性Hp（+），也可能出现阴性Hp（-）。（5）对于某种新药疗效的试验结果，可能为“无效”、“好转”、“显效”、“治愈”。定义2-

2、1定义在样本空间Ω上的实值函数X=X（ω）称为随机变量，常用字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值用小写字母x,y,z等表示。假如一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间，则称其为连续随机变量。（其中a可以是，b可以是）例2-2某药检所对某种送检的药品进行检查，按合格与不合格进行分类，使用随机变量表示检验结果。解：该试验的样本空间为Ω={合格，不合格}，若用随机变量X表示“随机取出某药品的检验结果”，用数值1，表示合格；用数值0，表示不合格，则X作为样本空间Ω的实值函数定义为：随

3、机变量离散型随机变量非离散型随机变量其中最重要的一种连续型随机变量二、离散型随机变量（一）离散型随机变量的定义定义2-2如果一个随机变量只能取有限个或可列无限个值，那么称这个随机变量为离散型随机变量。例2-3观察下列试验的结果，判断是否为离散型随机变量。（1）50件产品中有8件次品，其余为正品，从中取出4件进行检验，则取到的次品数。（2）某实验一次观测数据为5个，其中异常值的个数。（3）某交通道口中午1小时内汽车流量。（二）离散随机变量的概率分布对于一个随机变量进行研究，首先要判断它的取值范围及可能取哪些值，其次还要知道它取这些值的概率，

4、也就是要知道它取值的规律。随机变量X的取值规律称为X的概率分布，简称分布。定义2-3设离散随机变量X的所有可能取值为，X取各个值相应概率为，则称式（2-1）为离散随机变量X的概率分布或分布律，也称概率函数。X的概率分布也常用表2-1的方式来表达。表2-1X的概率分布XP概率分布的两个性质1、非负性：2、正则性：X01P1/21/2表2-2抛一枚硬币试验的概率分布X0123456P1/61/61/61/61/61/61/6表2-3抛一枚骰子试验的概率分布例2-2一位隐性遗传疾病的携带者有两个女儿，则每个女儿都有1/2的可能性从母亲那里得到一

5、个致病的X染色体而成为携带者（假设父亲正常），用A、B分别表示大女儿和小女儿是携带者，试求：（1）女儿中携带者人数X的概率分布；（2）至少有一个为携带者的概率。第二节连续型随机变量及其概率分布第二章随机变量的概率分布与数字特征一、连续型随机变量的定义定义2-4如果一个随机变量可以取得某一区间内的任何数值或在整个数轴上的取值，那么称这个随机变量为连续型随机变量。例如：（1）某小学四年级某班50名女生的身高。（2）100名健康成年男子血清总胆固醇的测定结果。（3）一批灯泡的使用寿命。这些都可以用连续型随机变量来表示。由于随机变量能够取某

6、些区间中的所有值，不能像离散型随机变量那样将其所有可能取值与对应概率一一列出，因而不能用离散型随机变量的概率函数来描述，于是我们引入概率密度函数来描述连续随机变量的概率分布。二、连续型随机变量的概率分布新生婴儿的体重X是一个随机变量，假如记录很多个新生婴儿的体重，我们用频率直方图表示出来。x轴表示体重（单位：500g），y轴表示（频率/组距）。频率/组距Xf(x)定义2-5对于随机变量X,如果存在一个非负可积函数，使对任意，都有式（2-2）则称为连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。概率密度函数的性质1、非负性：2、归一

7、性：这两个性质刻画了密度函数的特征，也就是说，如果某个实值函数具有这两条性质，那么它必定是某个连续随机变量的密度函数。3、设X为连续随机变量，则对任意指定实数，有即连续随机变量在处概率为零；4、设连续随机变量X，对任意，则5、几何意义：随机变量X落在区间内的概率等于由密度函数所围成的曲边梯形的面积。图2-1随机变量X落在区间内概率的几何意义例2-5已知随机变量X的概率密度为例2-6设随机变量X的概率密度为试求：第二节随机变量的分布函数第二章随机变量的概率分布与数字特征定义2-6设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数为随机变量X的分布函

8、数。式（2-3）说明：对任意实数，有特别的：（一）离散随机变量的分布函数对于离散随机变量，由于分布函数的定义域为R，所以任意的，只要将小于等于x的一切取值的相应概率值累加起来，就能够求得分布函