可分离变量地微分方程及其应用.ppt

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1、可分离变量的微分方程及其应用主讲人李海燕数学计算机科学系授课内容知识点回顾提出问题引例建模定义解法解决问题练习一、知识点回顾常微分方程的形式通解与特解常微分方程的定义二、提出问题怎样求解一阶微分方程呢？（难！）什么是可分离变量的微分方程呢？初等积分法分离变量法常数变易法恰当因子法参数法降阶法三、引例建模故事梗概直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了真假名画问题。维米尔名画伪造案范.梅格伦（VanMeegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳

2、粹分子。思路2原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出，物质的放射性（衰变率）正比于现存物质的原子数。1分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放射性，其应用已有2000余年，白铅的成分中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放射性铅（Pb210）。我们看下元素衰变示意图。3建立微分方程：设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t),y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。则：四、可分离变量微分方程的定义定义：若一阶显式或微分形式方程可分别写成（1）（2）则称：(1)和(2)

3、为变量可分离方程。五、可分离变量微分方程的解法积分法隐式通解（通积分）变量分离以方程（1）为例：例解初值问题六、解决问题经验：矿石中铀的最大含量可能2-3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放射性物质含量比较，来判别画的真伪。维米尔名画伪造案建模：设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。则:衰变率：其中,y(t),r均容易测出。画名钋210衰变原子数（每克每分钟）

4、镭226衰变原子数（每克每分钟）Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0假设：第一幅画是真品，则铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。同理可判别其他画的真伪。结论：小结：1.可分离变量的微分方程及其解法2.可分离变量的微分方程的建模应用1.解方程:七、练习2.古尸年代鉴定问题:在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作C14年代测定，分析表明，与C1

5、2的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前?Thankyouforyourattention！back显式：或隐式：back通解：解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相等，通常形式为：特解：满足初始条件的解，其中初始条件为：back矿石中元素衰变示意图：铀238镭226铅210钋210铅206T=45亿年T=1600年T=22年T=138天白铅backback2C14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程

6、进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。back设t时刻的原子数为y(t)，则有为物质的衰变常数。back设t时刻的原子数为y(t)，则有为物质的衰变常数。初始条件半衰期back解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为将变量分离，化成：back