同济高等数学第一章第九节课件.ppt

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1、一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数在点x0也连续例1因为sinx和cosx都在区间(-+)内连续所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定义的区间内都是连续的首页>>>二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy

2、{y

3、yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的下页例2同样y=arccosx在区间[-11]上是连续的y=arctanx在区间(-+)内是连续的y=arccotx在区间(-+)内是连续的反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y

4、yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少

5、)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的例2注:(1)把定理中的xx0换成x可得类似的定理提示:定理3例3解下页设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[j(x)]在点x0也连续下页定理4定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成sinu当-

6、是连续的三、初等函数的连续性结论注:所谓定义区间就是包含在定义域内的区间下页基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续三、初等函数的连续性结论基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例6例5解解下页利用连续性求极限举例例7令ax-1=t解则x=loga(1+t)x0时t0于是利用连续性求极限举例例题>>>下页解因为利用定理3及极限的运算法则便有利用连续性求极限举

7、例结束说明:若则有思考与练习续?反例x为有理数x为无理数反之是否成立?提示:“反之”不成立.堂上练习P653(6),(7);4(5),(6);5作业P653(3),(5)4(4)6