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《（高考复习教学教案）年全国高中数学联赛一试评分标准.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准．填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题第9题4分为一个档次，第10,11题5分为一个档次，不要再增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．设集合A={a,a,a,a}，若A中所有三元子集的
2、三个元素之和组成的集合为1234B={−}8,5,3,1，则集合A=．解显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以(3a+a+a+a)=(−)1+3+5+8=15，1234故a+a+a+a=5，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－51234＝0，5－8＝－3，因此，集合A={−}6,2,0,3．2x+12．函数f(x)=的值域为．x−1πππ解设x=tanθ,−<θ<，且θ≠，则2241cosθ11f(x)===．tanθ−1sinθ−cosθπ2sin(θ−)4π设u=
3、2sin(θ−)，则−2≤u<1，且u≠0，412所以f(x)=∈(−∞,−]U,1(+∞)．u211233．设a,b为正实数，+≤22，(a−b)=(4ab)，则logb=．aab11解由+≤22，得a+b≤22ab．ab又22332(a+b)=4ab+(a−b)=4ab+(4ab)≥4⋅2ab⋅(ab)=(8ab)，即a+b≥22ab．①于是a+b=22ab．②⎧⎪a=2−,1⎧⎪a=2+,1再由不等式①中等号成立的条件，得ab=1．与②联立解得⎨或⎨⎪⎩b=2+,1⎪⎩b=2−,12011年全国高中数
4、学联合竞赛一试答案（A卷）第1页（共6页）故logb=−1．a4．如果5533，cosθ−sinθ<7(sinθ−cosθ)θ∈2,0[π)，那么θ的取值范围是．5533315315解不等式cosθ−sinθ<7(sinθ−cosθ)等价于sinθ+sinθ>cosθ+cosθ，77315又f(x)=x+x是(−∞,+∞)上的增函数，所以sinθ>cosθ，7π5π故2kπ+<θ<2kπ+(k∈Z)．44⎛π5π⎞因为θ∈2,0[π)，所以θ的取值范围是⎜,⎟．⎝44⎠5．现安排7名同学去参加5个运动项目，
5、要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）解由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有31种方案；C⋅!5−C⋅!5=3600751222（2）有两个项目各有2人参加，共有(C⋅C)⋅!5−C⋅!5=11400种方案；7552所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000．6．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外
6、接球的半径为．解设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P,M分别为AB,CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，可求得12cosθ=,sinθ=．C331223M在△DMN中，DM=CD=,1DN=⋅DP=⋅⋅3=3．2332O2221由余弦定理得MN=1+()3−2⋅1⋅3⋅=2，DB3NP故MN=2．AMN2四边形DM
7、ON的外接圆的直径OD===3．sinθ23故球O的半径R=3．2011年全国高中数学联合竞赛一试答案（A卷）第2页（共6页）x−2y−1=027．直线与抛物线y=4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点，∠ACB=90°，则点C的坐标为．⎧x−2y−1=,0解设2，由A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,t)⎨2⎩y=4x,2得y−8y−4=0，则y+y=8，y⋅y=−4．1212又x=2y+,1x=2y+1，所以1122x+x=(2y+y)+2=18，x⋅x=4y⋅y+(2y+y)+1=1．121
8、2121212因为∠ACB=90°，所以CA⋅CB=0，即有22(t−x)(t−x)+2(t−y)(2t−y)=0，1212即422，t−(x+x)t+x⋅x+4t−(2y+y)t+y⋅y=01212121242即t−14t−16t−3=0，即22．(t+4t+3)(t−4t−)1=022显然t−4t−1≠0，否则t−2⋅2t−1=0，则点C在直线x−2y−1=0上，从而点C与点A或点B重合．2所以t+4t+3=
