北京大学数学物理方法(下)课件_16 球函数.pdf

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1、16球函数考虑三维轌轡轰转轡轣轥方程的定解问题(r2u輽輰輨輱輩ujx2+y2+z2=R2輽f輨x;y;z輩在球坐标系下輰rR輬輰輬輰輲8>>輱@2@u輱@@u>>r2@rr@r輫r2轳轩轮@轳轩轮@>>>>>>輱@2u>>輫輽輰>ujr=R輽f輨;輩ujr=0有界>>>>>>uj=0有界uj=有界>>>>@u@u:uj=0輽uj=2輽@@=0=2我们先考虑f輽f輨輩与无关的情况輮这时u輽u輨r;輩也与无关輮定解问题简化为8>>輱@2

2、@u輱@@u>ujr=R輽f輨輩ujr=0有界:uj=0有界uj=有界分离变量輬令u輨r;輩輽R輨r輩輂輨輩輱轤2轤R輨r輩R輨r輩輱轤轤輂輨輩輂輨輩r輫轳轩轮r2轤r轤rr2轳轩轮轤轤輽輰r2=R輂輬并移项輱轤2轤R輨r輩rR輨r輩轤r轤r輱輱轤轤輂輨輩輽轳轩轮輽輂輨輩轳轩轮轤轤轤2轤R輨r輩rR輨r輩輽輰輨輲輩轤r轤r輱轤轤輂輨輩轳轩轮輫輂輨輩輽輰輨輳輩轳轩轮轤轤由的边界条件輬得輂輨輰輩有界輂輨

3、輩有界輨輴輩即輽輰;不是方程解的奇点輮方程輨輳輩为轌轥轧轥轮轤轲轥方程輮作变换x輽轣软轳y輨x輩輽輂輨輩輱轌轥轧轥轮轤轲轥方程改写为轤2轤y輨輱x輩輫y輽輰輨輵輩轤x轤x16.1Legendre方程的解令輽輨輫輱輩輬展开轤2y轤y輨輱x2輩輲x輫輨輫輱輩y輽輰輨輶輩轤x2轤x由輽輨輫輱輩輽輨輱輩輨輩所以輬可设轒轥12x輽輱是方程的两个奇点輬且为正则奇点輮在二阶线性常微分方程的幂级数解法一章輬我们在常点x輽輰的邻域求得方程的两个线性无关的幂级数解輮X1輲2n輀輨n輩輀輨n輫+

4、1輩y輨x輩輽22x2n輨輷輩1輨輲n輩輡+1輀輨輩輀輨輩n=022X1輲2n輀輨n1輩輀輨n輫輱輫輩y輨x輩輽22x2n+1輨輸輩2輨輲n輫輱輩輡1輀輨輩輀輨輱輫輩n=022我们也可以在正则奇点的邻域求正则解輬这对x輽輱的边界条件的讨论有帮助輮在x輽輱的邻域輬正则解为X1y輨x輩輽輨x輱輩c輨x輱輩nnn=0代入方程X1轛輨z輱輩輫輲轝輨z輱輩c輨n輫輩輨n輫輱輩輨x輱輩n+2nn=0X1輲轛輨z輱輩輫輱轝c輨n輫輩輨x輱輩n+1nn=0X1輫輨輫輱輩c輨x輱輩n+

5、輽輰nn=0得X1輲c輨n輫輩2輨x輱輩nnn=0X1輫c轛輨輫輱輩輨n輫輩輨n輫輫輱輩轝輨x輱輩n+1輽輰nn=0先求指标方程輬2輽輰得1輽2輽輰輮所以第一解为轔轡轹转软轲级数輬递推关系n輨n輱輩輨輫輱輩cn輽2cn1輲n輨n輫輱輩輨輫n輩輽2cn1輲n輲所以輬取c0輽輱X1n輨n輫輱輩2nx輱P輨x輩輽輨n輡輩2輲n=0X1n輱輀輨輫n輫輱輩x輱輽輨輹輩輨n輡輩2輀輨n輫輱輩輲n=0称为次第一类轌轥轧轥轮轤轲轥函数輮第二解一定含对数项輬取为Q輨x輩輽gP輨x

6、輩转轮輨x輱輩輫:::輱x輫輱輽P輨x輩转轮輲輲輨輫輱輩輲x輱1X輱輀輨輫n輫輱輩輱輱輫輱輫輫


輫輨n輡輩2輀輨n輫輱輩輲nn=0nx輱輨輱輰輩輲称为次第二类轌轥轧轥轮轤轲轥函数輮z輽輱是Q的枝点輬6輽n时輬z輽1也是Q的枝点輮规定轡轲轧輨z輱輩輽輰轛轒轥z>輱;轉轭z輽輰轝则Q輨z輩輽轥iQ輨z輩轛轉轭z>輰轝通常规定对于实数x輬当輱

7、多项式方程輫齐次边界条件构成本征值问题轤2轤y輨輱x輩輫輨輫輱輩y輽輰轤x轤xy輨輱輩有界方程通解为y輨x輩輽AP輨x輩輫BQ輨x輩y輨輱輩有界輬而Q輨x輩含对数项輬转轮輨x輱輩在x輽輱无界輬所以B輽輰輬y輨輱輩輽AP輨輱輩A6輽輰輬所以必须P輨輱輩有界輬即级数X1輨輱輩n輀輨輫n輫輱輩P輨輱輩輽輨n輡輩2輀輨n輫輱輩n=0輳收敛輮6輽n时輬由輀函数互余宗量定理X1轳轩轮輀輨輫n輫輱輩輀輨n輩P輨輱輩輽輨n輡輩2n=0根据輀函数的轓轴轩轲转轩轮轧公式輬可以估计出n!1輀輨

8、輫n輫輱輩輀輨n輩輱輨n輡輩2np輀輨z輩zz1=2轥z輲輀輨輫n輫輱輩輀輨n輩輨n輡輩2輨輫n輫輱輩+n+1=2輨n輩n1=2轥(2n+1)輨n輫輱輩2n+1轥(2n+2)