数学物理方法第十章球函数

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1、数学物理方法第十章球函数球函数轴对称问题和勒让德多项式转动对称问题和连带勒让德函数一般问题和球函数本章小结轴对称问题和勒让德多项式轴对称拉普拉斯方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的母函数和递推公式勒让德多项式的性质勒让德多项式的应用轴对称拉普拉斯方程的求解勒让德多项式定义一般表示具体形式级数表示微分表示积分表示代数表达式图象勒让德多项式的代数表达式勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象母函数和递推公式母函数定义：u(x,r)=∑Pl(x)rl形式：u(x,r)=(1－2rx+r2)-1/2推导应用递推公式基本递推公式证明应用母函数的推导母函数的应用基本递推公式

2、递推公式的证明递推公式的应用勒让德多项式的性质奇偶性Pl(-x)=(-1)lPl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模正交性应用例题完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题勒让德多项式的正交性模正交性正交性应用例题勒让德多项式模的计算勒让德多项式的完备性广义傅立叶系数为完备性如果函数f(x)满足适当的条件，则有完备性应用例题例1：把函数f(x)=x2用勒让德多项式展开。例2：把函数f(x)=

3、x

4、用勒让德多项式展开。例3：把函数f(x)=(x-1)5用勒让德多项式展开。例4：把函数f(x)=x3用勒让德多项式展开。勒让

5、德多项式的应用例题1半径为a的球面上电势分布为f=Acos2θ，确定球内空间的电势u。解：勒让德多项式的应用例题2半径为a的球面上电势分布为f=Acos2θ，确定球外空间的电势u。解：勒让德多项式的应用例题3一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为f=cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u。解：勒让德多项式的应用例题4半径为a的导体球面附近的电场分布为f=Acosθ，确定球外空间的电势u。解：勒让德多项式的应用例题5半径为a的球面保持温度分布为f=Acosθ，确定球外空间的稳定温度分布u。解：勒让德多项式的应用例题6半径为a的半球球面上电

6、势分布为f=A，底面电势为零，确定半球内空间的电势u。解：勒让德多项式的应用例题7半径为a的半球球面上温度分布为f=A，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布u。解：转动对称问题和连带勒让德函数转动对称稳定问题的求解连带勒让德函数连带勒让德函数的性质连带勒让德函数的应用转动对称稳定问题的求解连带勒让德函数定义微分表示具体形式代数表达式图象连带勒让德函数的代数表达式连带勒让德函数的图象连带勒让德函数的图象连带勒让德函数的性质奇偶性Plm(-x)=(-1)l+mPlm(x)正交性正交性公式模正交性应用例题完备性完备性公式广义傅立叶系数连带勒让德函数的正交性正交性

7、和模正交性应用例题连带勒让德函数的完备性广义傅立叶系数为完备性如果函数f(x)满足适当的条件，则连带勒让德函数的应用例题1半径为a的球面上电势分布为f=Asin2θcosφsinφ，确定球内空间的电势u。解：连带勒让德函数的应用例题2半径为a的球面上电势分布为f=Asin2θcosφsinφ，确定球外空间的电势u。解：连带勒让德函数的应用例题3半径为a的导体球面附近电场分布为f=Asinθcosφ，确定球外空间的电势u。解：连带勒让德函数的应用例题4半径为a=2的球面上温度分布为f=Asinθcosθsinφ，确定球内空间的稳定温度分布u。解：一般问题和球函

8、数非对称稳定问题的求解球函数的概念球函数的性质球函数的应用球函数的归一化非对称稳定问题的求解球函数的概念定义一般表示式具体形式球函数的具体形式球函数的性质对称性正交性完备性球函数的应用例题1半径为a的球面上电势分布为f=Asin2θcos2φ，确定球内空间的电势u。解：球函数的应用例题2半径为a的球面上电势分布为f=Asin2θcos2φ，确定球外空间的电势u。解：球函数的归一化归一化的球函数正交性完备性本章小结一般球面边界稳定问题的半通解为转动对称球面边界稳定问题的半通解为轴对称球面边界稳定问题的半通解为递推公式的证明