数学物理方法--球函数

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1、1第十章球函数轴对称球函数2.连带勒让德函数3.一般的球函数球函数称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：其中：函数满足连带勒让德方程：第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，通解应当是

2、这两个解的线性组合。但是这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。4一.勒让德多项式轴对称球函数（m=0）(1)一般表达式级数表示约定级数中最高次幂的系数是反用系数递推公式5微分表示展开再求导L次可得积分表示6常用的勒让德多项式7图象89二.勒让德多项式的性质奇偶性Pl(-x)=(-1)lPl(x)零点定理L阶勒让德多项

3、式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题10三完备性应用例题例1：把函数f(x)=2x3+3x+4用勒让德多项式展开。11轴对称拉普拉斯方程的求解四勒让德多项式的应用12例半径为r0的半球，球面上温度分布为保持为，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布u。13例4在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内外的电场强度分析：球内电势球外电势衔接条件14一.连带勒让德函数10.2连带勒让德函数设带入方程整理得:有限求

4、对应的本征函数:15利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:所以通常记作:16注意:区分171819二.连带勒让德函数的性质奇偶性正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数m相同的连带勒让德函数是完备的2010.3球函数球函数方程一.球函数21任取其一,球函数方程的解为球函数:二.球函数的性质正交性22完备性例1.用球函数把下列函数展开例2.用球函数把展开23三.拉普拉斯方程的非轴对称定解问题拉普拉斯方程在球形区域的定解问题,如果是非轴对称的,问题与有关,用一般的球函数例4.半径为的球形区域内部没有电荷,球面

5、上的电势为为常数,求球形区域内部的电势分布解:定解问题为24由边界条件知:解为一般的球函数由于解在内部有限,所以含项舍去所以代入边界条件:25比较系数得:其它系数为零右边按球函数展开：方程的解为：26练习：