由两道高考试题的研究引发的教学思考_祁平.pdf

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1、２０１２年第５１卷第１２期数学通报４１由两道高考试题的研究引发的教学思考祁平（苏州市教育科学研究院２１５０００）２０１２年江苏高考数学卷最后二题（以下简称（２）设Ａ，Ｂ是椭圆上位于ｘ轴上方的两点，试题（１９）、试题（２０））立意新，方法活，很好地体现且直线ＡＦ１与直线ＢＦ２平行，ＡＦ２与ＢＦ１交于点了数学的思想方法，积极地体现了课改精神，对数Ｐ．学教学也起到了较好的引领作用．槡６（Ⅰ）若ＡＦ１－ＢＦ２＝，求直线ＡＦ１的对阅卷中的情况进行调研，发现考生对试题２（１９）的思考仅停留在问题的表象，对问题的研究斜率；缺乏方向感，答题卷上留下方法

2、繁多，计算混乱的（Ⅱ）求证：ＰＦ１＋ＰＦ２是定值．“局面”．考生对试题（２０）的研究更是缺乏信心，绝参考答案：略。大部分考生（包括平时优秀的一些学生）抓不住问优秀试题的“迷人的风光”应体现在对高层次题的本质，熟悉的递推数列在新的“环境”下变得理性思维的考查上，应给优秀考生留下深刻的印陌生，许多考生不知所措，思维感到一片空白，“不象．下面是对试题第（２）问的研究与认识：知渡向何处？”同样，与高三数学教师交流发现，大设Ａ（ｘ１，ｙ１），家普遍感到试题（１９）、（２０）有新意，有难度，不易Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ＡＦ１上手！的倾斜角为α，斜率为

3、近几年数学教育取得了很多成绩，但我们更ｋ，如图，取Ａ点关于要看到存在的问题与不足．“优秀学生的数学能ｙ轴的对称点Ｃ（ｘ３，力、数学素质还不令人满意，思维的灵活性到哪里烄ｘ３＝－ｘ１ｙ３），显然烅，［１］去了？”高密度的“例题”与高密度的“测试”符合烆ｙ３＝ｙ１理想的数学教学吗？社会发展，人类进步所呼唤且∠ＣＦ２Ｆ１＝∠ＡＦ１Ｆ２＝α，想到对称，使问题的数学教学究竟是什么？等等这些问题我们必须产生了美感，同时，使“松散的ＡＦ１、ＢＦ２的问题”从灵魂深处来研究数学教学的本质．转化为有联系的“ＣＦ２与ＢＦ２”的问题了．１试题的研究由ＢＦ２∥Ａ

4、Ｆ１知∠ＣＦ２Ｆ１＝∠ＢＦ２ｘ＝α，１．１试题（１９）的研究“反射情景”突然出现，延长ＢＦ２交椭圆与Ｃ′，易试题（１９）如图，证：Ｃ′与Ｃ关于ｘ轴对称，Ｃ′点坐标为（ｘ３，在平面直角坐标系槡６－ｙ３），Ｆ２Ｃ′＝Ｆ２Ｃ＝ＡＦ１，Ｆ２Ｃ′－ＢＦ２＝．２２２ｘｙｘｏｙ中，椭圆ａ２＋ｂ２＝这是与课本上的“弦问题”相关联的，过焦点的弦１（ａ＞ｂ＞０）的左、右问题也是高三复习教学中多次出现的问题．由焦点分别为Ｆ１（－ｃ，Ｆ２Ｃ′＞ＢＦ２知直线ＢＦ２的倾角α为锐角，所以２，ＢＦ（ｘ）３Ｆ２Ｃ′＝（１－ｘ３）槡１＋ｋ２＝２－１０），Ｆ２（ｃ，０）．已

5、知点（１，ｅ）和（ｅ，槡）都在椭圆上，２槡１＋ｋ２．其中ｅ为椭圆的离心率．（Ⅰ）由Ｆ２Ｃ′－ＢＦ２＝槡６得：（１）求椭圆的方程；２４２数学通报２０１２年第５１卷第１２期２，（１－ｘ）槡１＋ｋ２－（ｘ２－１）槡１＋ｋ２＝槡６，由ｒ１＝（１－ｘ３）槡１＋ｋ３２２ｒ２＝（ｘ２－１）槡１＋ｋ即（２－ｘ）槡１＋ｋ２槡６；求得２－ｘ３＝２（１＋ｋ２ｒ１ｒ２槡）［（ｘ２＋ｘ３）－ｘ２ｘ３－１］槡６＝③化简得ｘ２＋ｘ３＝２－．①ｒ１＋ｒ２（ｘ２－ｘ３）２２槡１＋ｋｙ＝ｋ（ｘ－１）ｙ＝ｋ（ｘ－１）再由得由｛２２０ｘ＋２ｙ－２＝｛２２０ｘ＋２ｙ－２＝（１＋

6、２ｋ２）ｘ２２２－４ｋｘ＋２ｋ－２＝０可得（１＋２ｋ２）ｘ２２２－４ｋｘ＋２ｋ－２＝０．２故ｘ２，ｘ３是方程的二根，根据韦达定理并化简得４ｋ所以ｘ２＋ｘ３＝２．②２１＋２ｋｒ１ｒ２槡１＋ｋ槡２＝＝．ｒ１＋ｒ２槡８（１＋ｋ２）４由①②得－２＝－槡６，２１＋２ｋ２槡１＋ｋ２注１．联想对称，将问题转化为椭圆的过焦化简得１２ｋ４＋４ｋ２－５＝０，有点的弦问题，其运算目标为由韦达定理将参数ｘ２，ｘ３化归为单一参数ｋ的计算问题，思路合理，ｋ２＝１，ｋ＝槡２．２２方向明确．有趣的是，转化后出现的新问题情景在（由此发现，可直接延长ＢＦ２交椭圆与Ｃ′，易

7、高二、高三学习时也遇到过．得线段Ｆ２Ｃ′、Ｆ１Ａ关于点Ｏ中心对称．取对称点２．学生感到运算的复杂与艰难，根源在于Ｃ的过程可省略．）“解题方向”模糊．３２３．沿此思路，还可求出满足条件的Ｐ点轨迹（Ⅱ）ＡＦ１⊥ｘ轴时，易得定值为槡．２ｘ２１方程为２＋ｙ＝．由此，我们方向明确．刚才的研究（求ＡＦ１斜９８率）提醒我们，在线段众多的问题中Ｆ２Ｃ′、ＢＦ２１．２试题（２０）．（２）的研究是关键的量，将这些关键的量视作参数，努力发现试题（２０）．（２）已知各项均为正数的两个数这些量的“信息”，并大胆运用辅助参数（Ｆ２Ｃ′和列｛｝ａ和｛｝ｂ满足：ａａｎ

8、＋ｂｎ，ｎ∈Ｎ＊ｎｎｎ＋１＝．２２ＢＦ２），才能使复杂的问题转化为熟悉的弦问题．槡ａｎ＋ｂｎ设Ｆ２Ｃ′＝ｒ１，ＢＦ２＝ｒ２，由ＡＦ１∥Ｆ２Ｃ′及ＡＦ１设ｂ·ｂｎ，ｎ∈Ｎ＊，且｛｝ａ是等比数列，ｎ＋１＝槡２ｎ