《常微分方程》练习题参考答案.pdf

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1、常微分方程P142-练习11.解微分方程xyy2xy．（答案：y2(xarctanx)C）dyxdyx解：可分离变量为dx，两边积分dx,2yx12yx1解得y2(xarctanx)C.2xtt（其中dx令xt2tdt=2dt=2-arctanttC=2(xarctanx)C22x1t1t122.解微分方程(yycosx)dx(2xysinx)dy0．2解：Px()yycos,xQx()2xysinx，Px()Qx()由于2yxcos在全平面上恒成立，故微分方程为全微分方程.yx2

2、原方程整理得ydx2xydyycosxdxsinxdy0，22即(ydxxdy)(ydsin+sinxxdy)0，222即dxy()dy(sin)0xdxy(ysin)0xxyysinxC.故方程的通解为2xyysinxCP144-练习21.微分方程y2yy0的通解为y________．2解：y2yy0的特征方程为r2r10r1,1,2故微分方程y2yy0的通解为xye()CCx122.微分方程yyyy0的通解为y_______．32解：yyy

3、y0的特征方程为rrr10r1,ri，12,3故微分方程yyyy0的通解为xyCeCcosxCsinx．1231P146-练习3x*1.微分方程y2yyxe的一个特解y____________．2解：y20yy的特征方程为r2r10r11,2*2x由于1是特征重根，故可设原方程的一个特解为yxaxbe()，代入原方程解得1*31xab,0，故特解为yxe.66*2.用待定系数法确定yyxsinx的特解形式为y____________．2解：yy

4、0的特征方程为r10r1,r1,12由于0不是方程yyx的特征根，故可设方程yyx的特解为*yaxb，1由于i不是方程yysinx特征根，故可设方程yysinx的特解为*ycsinxdcosx，2则原方程的一个特解形式为***yyyaxbcsinxdcosx.12P147-练习4x1.设y=+eC(cosxCsinx)为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为．12【解题思路】本题已知方程的通解，反求微分方程．一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特征方程，由此可得微分方程．解：ri=1

5、是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，1,222即有(rr-1)=-1Þ-2r+=20yyⅱ-+22y=0为所求二阶常系数齐次线性方程.P148-练习52222211.解微分方程2(yyx)(xy)．（答案：xy）xC22解：令xyu22xyyu，代入原方程得22111uududxxC，则u,2uuxC221即方程的通解为xyxC2y1y2.解微分方程ytan．2x2yx2y2解：令uyxu2yyuxu，代入原方程得xcosu1xutanududxlnsinul

6、nxlnClnCx，sinux2y则sinuCxsinCx，x2y方程的通解为sinCx.xP149-练习621.解微分方程xyxyy1．tdt1解：换元xe，则tlnx，，dxxdydydt1dy因为，dxdtdxxdt2dyddyd1dy1dy1ddy所以()()()22dxdxdxdxxdtxdtxdxdt221dy1dydt1dydy()，2222xdtxdtdxxdtdt22dydy2dydydy即有x，x．22dxdtdxdtdt2dy代入原方程可化为：y1，2dt通解为yCsintCc

7、ost1．12即yCsinlnxCcoslnx1123P151-练习7321.解微分方程2xyyy0．（答案：yCx1C）12C1解：令yp，则yp，原方程可化为320xppp，为一阶可分离变量方程.1111分离变量得dpdx，两边积分dpdx，22p(1p)2xp(1p)2x解方程得112lnpln(1p)lnxlnC，2211化简得p，其中C12.Cx1C112即yyCx1C.其中CC,为任意常数.1212Cx11C1P155-练习81.设函数f