常微分方程练习题.pdf

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1、常微分方程练习题§1一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：2（1）yxy2(yy)；2（2）ydx(x4x)dy0；2222（3）(x2xyy)dx(y2xyx)dy0；y（4）xyyxtan；x2y2（5）y2；xy1yy（6）edx(xe2y)dy0；222（7）(xcosy1)dx(3yxsinycosy)dy0；322（8）xdxydy4y(xy)dy0；2（9）(xxy)dx(yx)dy0；2x（10）y2xyxe；1xx2yyx2ex；

2、（11）2（12）(y6x)y2y0；y（13）y；2ylnyyx42（14）xydx(yx)dy0；14x（15）yyx；2yx1（16）xyy[ln(xy)1]0；23（17）xyyy2xcosx0；22221x（18）1xysin2y2xsinye；223（19）(xy1)y2xy0；22（20）xy(xy)y。2．求下列微分方程的特解：（1）ylnxdxxlnydy，y1；x1yy（2）ytan，y；x1xx622（3）xyyyx0，y1；x1

3、(x2y)dxydy（4）0，y1；2x0(xy)2（5）xdyydx(1x)dx0，y0；x12（6）ycosxysinxcosx，y1；x0（7）(xsiny)dytanydx0，y；x16（8）xylnxsinycosy(1xcosy)0，y。x13.试确定具有连续导数的一元函数，它满足(0)2，使得[sin2x(x)tanx]ydx(x)dy0是全微分方程，并求此全微分方程的通解。4．试确定在(0,)具有连续导数的一元函数，它满足x2(t)(t)lnt

4、dt(x)1。1t5．有一曲线yf(x)（f(x)0），它通过(1,1)点，且该曲线在[1,x]上所形成的2x曲边梯形的面积等于2，其中yf(x)。求f(x)。y6．设u(x,y)具有二阶连续导数，且不恒等于0。证明u(x,y)f(x)g(y)的充要2uuu条件为u。xyxyV7．某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内6VV不含A的水量为，流出湖泊的水量为。已知1999年底湖中A的含量为5m，063超过国家标准。为了治理污染，从2000年起，限定排入湖泊中含A污水的浓度m0不超过。问至多需

5、经过多少年，湖泊中的污染物A的含量会降至m以内（假0V定湖水中A的浓度是均匀的）？8．一摩托艇以10km/h的速度在静水上运动，全速时停止发动机。过了20s后，摩托艇的速度减至6km/h，试确定发动机停止2分钟后，摩托艇的速度。假定水的阻力与摩托艇的运动速度成正比。§2二阶线性微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）y2y8y0；（2）y4y6y0；(4)（3）yy0；(4)（4）y2yy0；2（5）yy2x1；x（6）y3y2y3xe；x（7）y2y5yesin2x；（8

6、）yyxcosx；x（9）y2y2yxecosx；（10）yysinxsin2x；2（11）xy3xy3y0；2（12）xyxy2yxlnx；2（13）(2x1)y4(2x1)y8y4x3。2．求下列微分方程的特解：（1）y4y13y0，y0，y3；x0x0x（2）yy4xe，y0，y1；x0x0x（3）yy2xe4sinx，y0，y0；x0x0x（4）y5y6y(12x7)e，y0，y0。x0x0

7、x3．已知ye是方程(1x)yyxy0的一个解，求这个方程的通解。14．用常数变易法求方程y2yy的通解。xxex5．设ye(CsinxCcosx)（C，C是任意常数）为某二阶常系数线性齐次1212微分方程的通解，求该方程。6．设一元函数f具有二阶连续导数，且f(0)f(0)1。试确定f，使得在全平面上曲线积分2x[5ef(x)]ydx[f(x)siny]dyL(,)2x与路径无关，并求[5ef(x)]ydx[f(x)siny]dy。(0,0)22xzz2x7．设一元函数f具有二阶连续导数

8、，zf(esiny)满足方程ez，22xy求f。8．某种飞机在机场降落