常微分方程练习题.docx

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1、模拟试题1一、填空题:(每小题2分,共8分)1.方程的通解是①;2.是全微分方程(恰当方程)的充要条件②;3.方程的通解是③;4.方程的特解可设为④.·参考答案o1. 2.o3.  4.　二、是非判断题:(每小题2分,共12分)1.如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解;2.方程(是实数)的通解是;3.如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中）的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4.方程(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5.如果、均为方程组的基解矩阵,那么必存

2、在可逆常数矩阵C使得成立;6.方程=2满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0.·参考答案o1.×,2.×,3.√,4.√,5.√,6.　×.三、(24分)求解下列各方程:1．=;2.=;3.;4..·参考答案o1.=通解为或者写成;o2.======,即,通解为;o3.,设,则==,所以,即得通解;o4.x()2-2y()+x=0,设,则,两边关于求导得或.由得,所以通解是,由得奇解.四、(20分)求下列各方程的通解:1.;2..·参考答案o1.的通解是,设原方程的特解是,将代入原方程得,所以有,所以原方程的通解是;注:如果用常数变易法或利用辅助

3、方程求解,则参照此解法给分.o2.设则原方程化为,(其中),即,此方程通解是,所以原方程的通解是.五、(14分)解方程组:·参考答案o由=0得,所以，特征值是.对于，设(6分)代入方程组可得记,,则.对于,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是,或者写成.六、(12分)已知微分方程,其中g(x)= 试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间内满足上述方程.·参考答案o1.当时,,所以,.由得;当时,,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.所以,所求函数是.　　七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:1．2．·参考答案o1.一次近

4、似方程是,特征方程,,.因为,特征根的实部都,所以原方程组的零解是渐近稳定的.o2.构造Lyapunov函数(定正),则定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的.    模拟试题2       一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）1．方程是阶是(非)线性方程.2．若方程（连续）是全微分方程，则满足关系.3．李普希兹条件是保证初值问题解唯一性的条件.4．对于一阶方程（p(x),q(x)∈C(a,b)）,则其任一解的存在区间是.5．对于欧拉方程，只需作变换，即可将其化为常系数线性方程.6．对于二阶方程，其由解所构成的Wronski行列式必

5、为.7．对于常系数线性齐次方程组，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当∞时.8．单摆运动方程可化为一阶方程组.·参考答案1.三，非2．3．充分，4．(a,b)，5．，o6．常数，7.趋于零，8..二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）1．2．3．4.5.6.7.·参考答案o1.(6分)o2.，解为o3.积分因子为，解为(6分)；o4.设(1分)，令，解为(6分)；o5.（I）当，;（II）当,不防设a>0,则方程的两个基本解为，易求得一个特解所以此时方程的解为o6.x″+x=0的通解是(2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入

6、原方程得，所以有,所以原方程的通解是注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分o7.,设，则（2分）.所以，原方程化为由得，因此得（6分）三．（本题11分）1．何谓是线性齐次方程组的基解矩阵？2．试求系数矩阵A=上述方程组的基解矩阵.·参考答案o1.称是的基解矩阵，如果满足（a）(b).（4分）o2.令，可求得（7分）对于由可取,对于，由可取对于，由可取因此基解矩阵为.（11分）四．讨论题：（本题12分）研究方程1．当n=1,方程是什么类型的方程？并求解之。2．当n=2,方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为

7、可求解的类型，并具体求解之。·参考答案o1.当n=1时，方程为线性非齐次方程，其解为（3分）o2.当n=2时，方程为Riccati方程，通过观察，易知为其一特解（6分），令（8分），代入原方程后可化简为此为伯努里方程，再令，则又可化为可求其解为，因此原方程的解为.五．证明题：（本题10分）设是方程的基本解组，则线性非齐次方程满足初始条件的解可表为（其中w为解所成的Wronski行列式），试证明之.·参考答案o证明：设为方程（1）的两个线性无关解.令，则（1）化为，其中（3分）则据常数变易公式，满足初始条件的解为,（6分）其中代入可算得.   模拟试题

8、3     一、填空题：（每小题3分，共21分）1.方程的阶数是①.2.方程的通解是②；3.是方程的积分因子