对一道课本习题的探究.pdf

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1、·专论荟萃·数学通讯———２０１１年第７、８期（上半月）８１对一道课本习题的探究卢伟峰（黑龙江省大庆实验中学，１６３３１６）２普通高中课程标准实验教材必修数学（４）１４４ｃｏｓα＝１，所以猜想成立．页第５题：问题思考二对于函数ｆ（α）＝ｓｉｎ２ｋα＋设ｆ（α）＝ｓｉｎｘｘ２ｋ２ｋ２ｋ，α＋ｃｏｓα，ｘ∈｛ｎ｜ｎ＝２ｋ，ｋ∈ｃｏｓα＝（ｓｉｎα）＋（ｃｏｓα）令ｓｉｎ２２Ｎ＋｝．利用三角变换，估计ｆ（α）在ｘ＝２，４，６时的α＝ｘ，则ｃｏｓα＝１－ｘ，即ｆ（α）＝取值情况，进而对ｘ取一般值时ｆ（α）的取值范围ｋｋ，ｘ∈［０，１］，ｇ（ｘ）＝ｘ＋

2、（１－ｘ）作出一个猜想．则ｇ′（ｘ）＝ｋｘｋ－１ｋ－１，－ｋ（１－ｘ）问题思考一当ｘ＝２时，ｆ（α）＝ｓｉｎ２α＋ｋ－１ｋ－１１令ｋｘ－ｋ（１－ｘ）＝０，得ｘ＝．２２ｃｏｓα＝１．当ｘ＝４时，ｆ（α）＝ｓｉｎ４４１１α＋ｃｏｓα＝１－当ｘ∈（０，）时，ｇ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（，１）２２１ｓｉｎ２２α∈［１，１］．时，ｇ′（ｘ）＞０，则２２当ｘ＝６时，ｆ（α）＝ｓｉｎ６６１１α＋ｃｏｓα＝１－ｋ－１＝ｇ（）≤ｇ（ｘ）≤ｍａｘ｛ｇ（０），ｇ（１）｝２２３ｓｉｎ２２α∈［１，１］．４４＝１，猜想：当ｘ＝２ｋ（ｋ∈Ｎ）时，ｆ（α）＝ｓｉｎ２ｋ１＋α＋

3、即ｆ（α）∈［，１］．ｋ－１２ｃｏｓ２ｋα∈［１，１］．ｋ－１参考练习１当ｘ∈［０，１］时，证明：２则当ｘ＝２ｋ＋２时，有１ｐ＋（１－ｘ）ｐｐ－１≤ｘ≤１（ｐ＞１）．２ｓｉｎ２ｋ＋２α＋ｃｏｓ２ｋ＋２α－１（ｓｉｎ２ｋα＋ｃｏｓ２ｋα）（θ）＝ｓｉｎｎ２问题引申设函数ｆｎθ＋１２２ｋ２ｋ］．（－１）ｎｃｏｓｎθ，０≤θ≤π，其中ｎ为正整数．对于＝（－ｃｏｓα）［（１－ｃｏｓα）－（ｃｏｓα）４２１１任意给定的正整数ｎ，求函数ｆｎ（θ）的最大值和最若１≥ｃｏｓ２时，２α≥－ｃｏｓα≤０且（１－２２小值．２ｋ２ｋｃｏｓα）－（ｃｏｓα）≤０．π解

4、当ｎ＝１时，函数ｆ１（θ）在［０，］上单调２ｋ＋２２ｋ＋２４∴ｓｉｎα＋ｃｏｓα１（ｓｉｎ２ｋ２ｋ１递增，∴ｆ１（θ）的最大值为ｆ１（π）＝０，最小值为≥α＋ｃｏｓα）≥ｋ．４２２２１１２ｆ１（０）＝－１．若０≤ｃｏｓα＜时，－ｃｏｓα≥０且（１－２２当ｎ＝２时，ｆ２（θ）＝１，∴函数ｆ２（θ）的最大２ｋ２ｋｃｏｓα）－（ｃｏｓα）≥０．值、最小值均为１．∴ｓｉｎ２ｋ＋２α＋ｃｏｓ２ｋ＋２α≥１（ｓｉｎ２ｋα＋ｃｏｓ２ｋα）当ｎ＝３时，函数ｆ（θ）在［０，π］上单调递３２４１π≥ｋ．增，∴ｆ３（θ）的最大值为ｆ３（）＝０，最小值为２４则当ｘ＝

5、２ｋ＋２（ｋ∈Ｎ）时，有ｓｉｎ２ｋ＋２＋α＋ｆ３（０）＝－１．ｃｏｓ２ｋ＋２α≥１，又易知ｓｉｎ２ｋ＋２α＋ｃｏｓ２ｋ＋２α≤ｓｉｎ２α＋当ｎ＝４时，函数ｆ（θ）＝１－１ｓｉｎ２２θ在［０，ｋ４２２８２数学通讯———２０１１年第７、８期（上半月）·专论荟萃·π］上单调递减，∴ｆ（θ）的最大值为ｆ（０）＝１，＝１＝ｆｎ（π）．４４ｎ４２２－１４最小值为ｆ４（π）＝１．∴函数ｆｎ（θ）的最大值为ｆｎ（０）＝１，最小值４２下面讨论正整数ｎ≥５的情形．为ｆｎ（π）＝２（槡２）ｎ．４２当ｎ为奇数时，对任意θ１、θ２∈［０，π］且θ１＜综上所述，当ｎ为奇

6、数时，函数ｆｎ（θ）的最大４ｎｎ值为０，最小值为－１；当ｎ为偶数时，函数ｆｎ（θ）的θ２，因为ｆｎ（θ１）－ｆｎ（θ２）＝（ｓｉｎθ１－ｓｉｎθ２）＋（ｃｏｓｎｎ２）ｎθ２－ｃｏｓθ１），以及０≤ｓｉｎθ１＜ｓｉｎθ２＜１，０＜最大值为１，最小值为２（槡．２ｎｎｎｃｏｓθ２＜ｃｏｓθ１≤１，所以ｓｉｎθ１＜ｓｉｎθ２，ｃｏｓθ２＜参考练习２（２００９年清华大学自主招生题）ｎｃｏｓθ１，从而ｆｎ（θ１）＜ｆｎ（θ２），所以ｆｎ（θ）在［０，设ｘ，ｙ为实数，且ｘ＋ｙ＝１，求证：对于任意正整π］上单调递增，则ｆ（θ）的最大值为ｆ（π）＝０，４ｎｎ４

7、数ｎ，ｘ２ｎ２ｎ１（证明略）．＋ｙ≥２ｎ－１２最小值为ｆ４（０）＝－１．对于教材上的典型习题应该引起教师和学生当ｎ为偶数时，一方面有ｆ（θ）＝ｓｉｎｎｎｎθ＋ｃｏｓθ的高度重视，深挖其本质，并适当的在教师引导下２２≤ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１＝ｆｎ（０）；进行拓展探究，这样才能让源于教材的知识方法另一方面，由于对任意正整数ｌ≥２，有高于教材．２ｆ２ｌ（θ）－ｆ２ｌ－２（θ）２ｌ－２２ｌ－２２２＝（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）≥０，（收稿日期：２０１０－１２－１０）１１∴ｆｎ（θ）≥ｆｎ－２（θ）≥…≥ｎｆ２（θ）２２２－１一道选择题

8、的解法探究与深究李治国（湖北省安陆市第一高级中学，４３２６００）在一次测试中，碰到了这样的一道选择题：对的学生都是采用此种解法．当然作为选择题，这２２也是一种很好的