习题课应有利于学生真正实现_举一反三.pdf

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1、数坛2014年4月教育纵横在线习题课应有利于学生真正实现“举一反三”筅浙江省杭州第十一中学蔡小雄筅浙江省长兴县金陵高级中学陈国伟前苏联数学教育家奥加涅说过：“很多习题潜在着17个，然而当x∈［11，12］时，大部分学生认为两个函数进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能只有一个交点，而班级中5位答对的同学能通过直观判性.”很多数学问题本身看似平淡无奇，但若能挖掘其内断发现虽然两个函数（fx）和g（x）的图像在x=12处交汇于涵，适当变化，常常会有意想不到的收获.特别是教学过点（12，1），但是由于两个函数的变化趋势不一样，进而程中具有共性的学生错题，教师在讲解过程中不能仅仅大胆地猜测当

2、x∈［11，12］时，函数（fx）和g（x）的图像有停留在对此题的分析评价上，而是应该通过这个问题的两个交点.解答，进一步扩展，让学生了解相关类似问题并进行归笔者对这5位学生的数学敏感性及大胆猜想的精神纳梳理，最后还要能延伸推广到其他问题的解答上，形感到欣慰，但是数学问题的解答不能只停留在大胆猜想成举一反三的能力.笔者在高三复习中就碰到这样一个的阶段，而是要能在“大胆猜想”的基础上进行“小心求习题：证”.那么如何证明当x∈［11，12］时，函数（fx）和g（x）的例1函数y=f（x）（x∈R），满足（fx+2）=f（x），且x∈图像有两个交点呢？注意到这5位学生提到的“变化趋势2（-1，1］

3、时，（fx）=1-2x，函数g（x）=lg

4、x-2

5、，则函数h（x）=不同”的本质即为函数的变化率不同，即当x∈［11，12］（fx）-g（x）在区间［-6，12］内的零点个数为（）.2时，（fx）=1-2（x-12），g（x）=lg（x-2）.由f（′x）=-4（x-12）∈A.18B.19C.20D.17111此题通过函数的零点考查学生的数形结合、转化化［0，4］，而g′（x）=∈∈，∈，可以发（x-2）ln1010ln109ln10归等数学思想方法.作为本校一次调研考试的选择题，现虽然函数（fx）和g（x）在x∈［11，12］上都是单调递增的全班50人，仅有8位同学做对，还有34位同学

6、的答案为1118，另外8位同学选择其他答案，并且做对的8人中也仅函数，但∈，∈奂［0，4］，那是否意味着它们10ln109ln10有5位同学能正确判断答案却不能完整说明理由.有两个不同的交点呢？注意到函数方程思想，我们将它一、深入剖析，挖掘本源是实现“举一反还原为h（x）的零点问题.当x∈［11，12］时，h（x）=1-2（x-三”的奠基石2112）-lg（x-2），由h（′x）=-4（x-12）-，得h（′11）（x-2）ln10调研发现学生均能将“函数h（x）在区间［-6，12］内11=4-＞0，h′（12）=-＜0，因此存在x0∈的零点个数”问题转化为“函数（fx）与函数g（x）在区间

7、9ln1010ln10［-6，12］内的图像的交点个数”问题，大部分同学也能由［11，12］，使得h（′x0）=0，所以h（x）在［11，x0］上单调递增，周期性正确得出函数（fx）与函数g（x）在区间［-6，12］内在［x0，12］上单调递减.而h（11）=1-2-lg9＜0且的图像（如图1）.然而学生通过点数发现结论为18.h（12）=0，所以由单调性可得极大值h（x0）＞0，因此h（x）=0y在区间［11，12］内有两个解.12二、由此及彼，变式训练是实现“举一反6O12x三”的助推器图1是不是所有的交点问题都是这种情况呢？为了加深题中当x∈［-6，11］时，两个函数的交点个数正好为学

8、生的理解，笔者又给出了如下练习.高中版高中版57数坛在线教育纵横2014年4月2-x+2x，x≤0，通过对具有不同单调性和凹凸性的函数的交点问练习1.已知函数（fx）=≤若

9、f（x）

10、≥ax，则ln（x+1），x＞0.题的探讨，学生对数形结合思想有了更为本质的认识，对a的取值范围是（）.零点问题的规律的理解也在探究中不断提炼升华，在反A.（-∞，0］B.（-∞，1］C.［-2，1］D.［-2，0］复运用中避免了机械的模仿，进而能真正地理解和掌握.x练习2.已知函数（fx）=e，x∈R.设x＞0，讨论曲线y=（fx）与曲线y=mx（2m＞0）公共点的个数.三、归纳梳理，完善思维是实现“举一反练

11、习3.设函数（fx）=lnx-ax，其中a为实数，试求（fx）三”的催化剂的零点个数.波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更过程展示：重要的是解题之后的回顾与反思.”笔者引导学生对上生1：作y=

12、f（x）

13、的图像，如图2，当a≤0时，直线y=ax和曲线y=x2-2x（x≤0）相切于原点，可得a=-2，所以-2≤述3个练习题进行反思：练习1通过直线的动态过程揭示a≤0；当a＞0时，如图3，直线y=ax与