高数B上习题 3-4作业答案.pdf

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1、习题3-42'1x1、（1）解：fxx()=−arctanx，fx()1=−=≥0，2211++xx且仅在x=0时等号成立，所以fx()在(,)−∞+∞单调上升。注：很多人都是不注意这里会出现等号。28'828x−（2）解：yx=2+(x>0)，y=−=2(x>0)，22xxx2'28x−y==0解得x=2。21x'x∈(2,+∞)时，y>0⇒单调上升区间为[2,+∞)'x∈(0,2)时，y<0⇒单调下降区间为(0,2]注：此题需要注意函数本身定义域为(0,+∞)。x22、（1）证明：令fx()=2−x，(x>4)，则'xfx()=

2、2ln22−x，(x>4)，''x22''4fx()=2ln2()−>2f(4)=2ln2()−>20，(x>4)，'''所以fx()在[4,+∞)单调上升，从而，fxf()>>(40)，所以fx()在[4,+∞)也单调上升，从而，fxf()>=(40)，x2即x>4时，2>x。证毕。''''注：注意此题中证明fx()>0的方法，是利用二阶导数fx()的符号得出fx()的单调性。1习题3-4132、（2）证明：令fxx()=−−xsinx，(x>0)，则6'21fx()=1−−xcosx，(x>0)，2''fx()=−+xsinx<

3、0，(x>0)，（这是因为sinxx<）'''所以fx()在[0,+∞)单调下降，从而，fxf()<=(00)，所以fx()在[0,+∞)也单调下降，从而，fxf()<=(00)，13即x>0时，xx−0的方法，也是利用二阶导数fx()的符号。2、（3）证明：cccccc−1abab++c原不等式(ab+≥)2(ab+)等价于()≥。22c'1c−''c−2令fxx()=，则f(x)=cx，fx()=cc(−1)x，''c−2因为01<0时，fx()=−

4、)x0，c从而曲线fxx()=在(0,+∞)是凸的，ccabab++c根据凸曲线的定义有()≥。证毕。223、证明：（1）先证连续性。注意到f(0)=0，fxf()−(0)'因为limFx()=lim=f(0)=F(0)，所以Fx()在x=0连续。xx→→00x−0fx()而x≠0时，Fx()=显然连续。所以Fx()在(,)−∞+∞连续。x3、（2）再证单调增加性。'证法一：由于Fx()在(,)−∞+∞连续，所以只需证明x≠0时Fx()>0即可知Fx()在(,)−∞+∞单调增加。当x≠0时，注意到f(0)=0，''''fx()x

5、fxfx()−()xfx()−−(fx()f(0))Fx()===22xxx2习题3-4拉格朗日xfx''()−xf()x=，x介于0与x之间，2x拉格朗日(xf−xη)()''=，η介于x与x之间，x''注意到上式中，由于x−x与x同号，已知f()0η>，所以'''(xf−xη)()Fx()=>0。证毕。x'''fx()xfxfx()−()3、（2）证法二：Fx()==，2xx''''''''令gx()=xfx()−fx()，则gx()=+−=fx()xf()xfx()xf()x，''则当x>0时，gx()0>

6、，当x<0时，gx()0<，从而gx()在x=0取得极最小值，即gxg()>=(0)0。'gx()于是Fx()=>0，证毕。2x4、注：注意此题中拐点的写法，必须是(1,ln2,)(−1,ln2)。而不能写拐点为x=±1。5、解：据题意f(1)=−10f(2)−=44'，解得a=1，b=−3，c=−24，d=16。f(2)−=0f''(1)=03习题3-46、解：(xfx,())是拐点。00''''''由于fx()在x某邻域连续，且fx()≠0，根据连续函数的保号性知，在x的某000''''''个邻域内fx()与fx(

7、)≠0的符号相同。0'''''解法一：把fx()在x点泰勒展开，注意fx()=0，得00''''''''''fxfxf()=(000)+(xx)()xxf−=()()xx−，''''''''''''由此可见，如果fx()>0（fx()<0），则f(x)>0（f(x)<0），00''''从而xx<时，fxfx()<=()0，00''''从而xx>时，fxfx()>=()0，00''即fx()的符号在x的左右两侧发生改变，即(xfx,())是拐点。000''''''''''''''解法二：如果fx()>0（fx()<0），则fx()>0

8、（fx()<0），从而fx()在x000''的邻域内单调上升（下降），而fx()=0，0''''从而xx<时，fxfx()<=()0，00''''从而xx>时，fxfx()>=()0，00''即fx()的符号在x的左右两侧发生改变，即