2013广东高考文科数学试题及答案.pdf

《2013广东高考文科数学试题及答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2013广东高考文科数学试卷及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。221.设集合SxxxxRTxxxxR=+{|20=,,|20∈=−}{=,∈}，则STI=（）A.{0}B.{0,2}C.{−2,0}D.{−2,0,2}【答案】A；【解析】由题意知S=−{0,2}，T={0,2}，故STI={0}；lg()x+12.函数y=的定义域是（）x−1A.()−+∞1,B.[−+∞1,)C.(−1,1)U(1,+∞)D.[−+1,1)(U1,∞)【答案】C；⎧x+>10【解析】由题意知⎨，解得x>−1且x≠1，所以定义域为(−1,1)(U1,+∞)；⎩x−≠103.若ixyi()+=+34i，x,yR∈，则复数x+yi的模是（）A.2B.3C.4D.5【答案】D；【解析】因为ixyi()+=+34i，所以xiy−=+34i，根据两个复数相等的条件得：−=y322即y=−3，x=4，所以x+yi=−43i，x+yi的模=4(3+−)5=；⎛⎞51π4.已知sin⎜⎟+=α，那么cosα=（）⎝⎠252112A.−B.−C.D.5555【答案】C；⎛⎞51πππ⎡π⎤【解析】sin⎜⎟+=ααsin(+=)cos⎢⎥−+=−=(αα)cos()cosα=；⎝⎠222⎣2⎦55.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A.1B.2C.4D.7【答案】D；1 【解析】i=1时，s=1(11)1+−=；i=2时，s=1(21)2+−=；i=3时，s=+−=2(31)4；i=4时，s=+−=4(41)7；图1图26.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（）112A.B.C.D.1633【答案】B；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，111所以该三棱锥的体积V=⋅⋅⋅⋅=112；323227.垂直于直线yx=+1且与圆xy+=1相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A.xy+−=20B.xy++=10C.xy+−=10D.xy++=20【答案】A；【解析】设所求直线为l，因为l垂直直线yx=+1，故l的斜率为−1，设直线l的方程为22y=−+xb，化为一般式为xyb+−=0；因为l与圆相切xy+=1相切，所以圆心(0,0)−b到直线l的距离==1，所以b=±2，又因为相切与第一象限，所以b>0，故b=2，2所以l的方程为xy+−=20；8.设l为直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若ll//,//αβ，则α//βB.若ll⊥α,⊥β，则α//βC.若ll⊥α,//β，则α//βD.若α⊥βα,l//，则l⊥β【答案】B；2 【解析】若α与β相交，且l平行于交线，则也符合A，显然A错；若ll⊥α,//β，则α⊥β，故C错；α⊥βα,l//，若l平行交线，则l//β，故D错；19.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是（）222222222xyxyxyxyA.+=1B.+=1C.+=1D.+=134434243【答案】D；c1【解析】由焦点可知F()1,0可知椭圆焦点在x轴上，由题意知c==1,，所以a22222xyab==−=2,213，故椭圆标准方程为+=1；43rrrr10.设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题：rrrrr①给定向量b，总存在向量c，使abc=+；rrrrr②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使abc=+λμ；rrrrr③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使abc=+λμ；rrrrr④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使abc=+λμ.rrr上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D；【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D均正确；二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11.设数列{a}是首项为1，公比为−2的等比数列，则aaaa+++=____________；n1234【答案】15；【解析】由题意知a=1，a=−2，a=4，a=−8，所以；aaaa+++12341234=+++=124815；212.若曲线y=−axlnx在点()1,a处的切线平行于x轴，则a=_____________；3 1【答案】；2212【解析】因为y=−axlnx，所以ya′=2x−，因为曲线y=−axlnx在点()1,a处的x1切线平行于x轴，所以ya′=−=210，所以a=；x=12⎧xy−+≥30⎪13.已知变量x,y满足约束条件⎨−11≤≤x，则z=xy+的最大值是_____________；⎪⎩y≥1【答案】5；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)−−，代入可知z的最大值为z=+=145；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为___________________；22【答案】(1xy−+=)1；2【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ；所以x===ρcosθθθ2cos1cos2+①，y==ρsinθθ2sincosθθ=sin2②；①可变形得：cos2θ=x−1③，②可变形得：2222sin2θ=y；由sin2θθ+=cos21得：(1xy−)+=1；15.（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=___________；21【答案】；20【解析】因为在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，所以∠=BCA30，030所以CE=⋅CBcos30=3；在VCDE中，因为∠=ECD60，由余弦定理得：222220⎛⎞33233121DE=+−CECD2⋅⋅⋅CECDcos60=⎜⎟+−()32×××3=，所⎜⎟2224⎝⎠4 21以CD=；2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明和演算步骤.16.（本小题满分12分）⎛⎞π已知函数f()xx=2cos⎜⎟−∈,xR.⎝⎠12⎛⎞π（1）求f⎜⎟的值；⎝⎠33⎛⎞3π⎛⎞π（2）若cosθ=，θ∈⎜⎟,2π，求f⎜⎟θ−.5⎝⎠2⎝⎠6【答案与解析】⎛⎞ππ⎛ππ⎞2（1）f⎜⎟=−2cos⎜⎟==2cos2×=1；⎝⎠33⎝124⎠223⎛⎞3π⎛⎞34（2）因为cosθ=，θ∈⎜⎟,2π，所以sinθ=−−1⎜⎟=−；5⎝⎠2⎝⎠55⎛⎞π⎛ππ⎞⎛⎞⎛πππ⎞f⎜⎟θθ−=2cos⎜−−=⎟2cos⎜⎟⎜θθ−=2coscos+sinsinθ⎟⎝⎠66⎝1233⎠⎝⎠⎝3⎠⎛⎞31433246−=×2⎜⎟−×=；⎜⎟525210⎝⎠17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个的概率；5 【答案与解析】20（1）重量在[90,95)的频率==0.4；50（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在5[80,85)的个数=×41=；515+（3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为abc,,，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)xaxbxcabacbc6种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)xaxbxc种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A，则事31件A的概率PA()==；6218.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，DE,分别是ABAC,上的点，ADA=E，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ΔABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥2ABCF−，其中BC=.2（1）证明：DE//平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；2（3）当AD=时，求三棱锥FDEG−的体积V.FDEG−3图4图56 ADAE（1）证明：在图4中，因为ABC是等边三角形，且ADA=E，所以=，DE//BC；ABAC在图5中，因为DG//BF，GE//FC，所以平面DGE//平面BCF，所以DE//平面BCF；（2）证明：在图4中，因为因为ABC是等边三角形，且F是BC的中点，所以AFB⊥C；12222在图5中，因为在VBFC中，BF==FC,BC=，所以BFF+=CBC，22BFC⊥F，又因为AF⊥CF，所以CF⊥平面ABF；（3）因为AFC⊥⊥FA,FBF，所以AF⊥平面BCF，又因为平面DGE//平面BCF，所以AF⊥平面DGE；所以111111133V=⋅S⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=FGDGGEFG；FDEG−VDGE3323233632419.（本小题满分14分）2*设各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，满足44SannN=−−∈1,，且nnnn+1aaa,,构成等比数列；2514（1）证明：aa=+45；21（2）求数列{a}的通项公式；n1111（3）证明：对一切正整数n，有+++L<.aaaaaa21223nn+12*22（1）证明：因为44SannN=−−∈1,，令n=1，则44Sa=−−1，即aa=+45，nn+11221所以aa=+45；212222（2）当n≥2时，444aSSan=−=−−−−−−(41)⎡an411()⎤=−−aa4，nnnn−+11⎣n⎦nn+122所以aa=+(2)，因为{a}各项均为正数，所以aa=+2；nn+1nnn+122因为aaa,,构成等比数列，所以aaa⋅=，即aa(+=+24)(a6)，解得a=3，251421452222因为aa=+45，所以a=1，aa=+2，符合aa=+2，所以aa=+2对21121nn+1nn+1n=1也符合，所以数列{a}是一个以a=1为首项，d=2为公差的等差数列，n1an=+−⋅=−1(1)221n；n7 11111（3）因为==()−，所以aa(2n+−1)(2n1)22n−+12n1nn+1111111111111++L+=−+−+()()⋅⋅⋅+(−)aaaaaa21323522121n−n+1223nn+111111⎛⎞1111⎛1⎞n1=−⎜⎟+−+⋅⋅⋅−=−⎜⎟=<；21335⎝⎠21212121212nn−+⎝nn++⎠1111所以对一切正整数n，有++L+<.aaaaaa21223nn+120.（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点Fcc(0,)(>0)到直线lxy:2−−=0的距离为32.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PAPB,，其中A,B为切2点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点Pxy(,)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；00（3）当点P在直线l上移动时，求AFBF⋅的最小值.【答案与解析】32（1）因为抛物线焦点Fcc()0,()>0到直线lxy:2−−=0的距离为2−−c232所以d==，又因为c>0，所以解得c=1，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所222以抛物线C的方程为x=4y；2121（2）因为抛物线的方程为x=4y，即y=x，所以y′=x，设过Pxy(,)点的切线004212y−m12104l′与抛物线的切点坐标为(,mm)，所以直线l′的斜率km==，解得42x−m02212mxxy=+−4或mxxy=−−4；不妨设A点坐标为(,mm)，B点坐标1000200011412222为(,mm)，因为x−4y=−−=−+xx4(2)xx482200000048 1122mm−4412112=−+(2x)40>，所以mm≠；km==()+m=x；012AB120mm−42121121所以直线AB的方程为y−=−mx()xm，代入整理得：y=x；10104221212（3）A点坐标为(,mm)，B点坐标为(,mm)，F点坐标为(0,1)，因为11224422xy−−=20；所以mxxyx=+−=+4(x−+2)4，0010000022mxxyxx=−−=−4(−+2)4，mmx+=2，mm=48x−；因此200000120120222222⎛⎞⎛⎞1122⎛⎞12⎛⎞12AFBF⋅=mm+−⎜⎟⎜⎟11⋅+−mm=+⎜⎟m1⋅+⎜⎟m1112212⎝⎠⎝⎠44⎝⎠4⎝⎠4⎛⎞111122⎛⎞22221122=+⎜⎟m111⎜⎟m2+=mm12+++()m1m21=()mm12++−+⎡⎤⎣⎦(m1m2)21mm12⎝⎠441⎝⎠6416411222329=−(4xx008)+−−⎡⎤⎣⎦()22(4xx008)+12=−6x0+9=2(x0−)+，1642239所以当x=时，AFBF⋅取最小值；0223221.设函数f()xxk=−+∈xxkR().（1）当k=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）当k<0时，求函数在[,]kk−上的最小值m和最大值M.【答案与解析】322（1）因为f(xxk)=−+xx，所以f′()3xxk=−+2x1；当k=1时，2212fx()3=−+x213(x=−+>x)0，所以f(x)在R上单调递增；33222（2）因为f′()3xxk=−+2x1，Δ=−(2)4314(kk−××=−3)；①当Δ≤0时，即−≤<30k时，fx′()0≥，f()x在R上单调递增，此时无最小值和最大值；2222kkkk+−+−33②当Δ>0时，即k<−3时，令fx′()0=，解得x==6322222kkkk−−−−33kk−−3或x==；令fx′()0>，解得x<或6339 222kk+−3kk−−+33kk−x>；令fx′()0<，解得<=>k33333作f()x的最值表如下：xk⎛−−2⎞22⎛⎞+−2−kkk3kk−2−3⎛⎞kkkk−−+−33kk+2−3kk3⎜k,⎟⎜⎟,⎜⎟,−k⎜⎝3⎟⎠3⎜⎟⎝⎠333⎜⎟⎝⎠3f′()x+0−0+f()xk3Z极大值]极小值Z−2kk−10