2009年全国高中数学联合竞赛(一试试题解答集锦).pdf

《2009年全国高中数学联合竞赛(一试试题解答集锦).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、中学数学教学参考竞赛之路5620o9年第ll期f上旬】每痛枣熬尝禽一溉武眉簪翁岛刘康宁(陕西省数学竞赛委员会)贾柏玲(西北工业大学附属中学)今年的全国高中数学联赛由中国数学会主办，黑而IAMI≤、／r，即、≤了．龙江省数学竞赛委员会承办．试卷仍分为一试和加试解得3≤n≤6．两部分，与往年不同的是，今年的试题从题型、题量、3．在坐标平面上有两个区域M和N，M分值到考试时间，都作了重大的调整．一试去掉了选f≥O，择题，满分由150分减少到1oo分，考试时间也由100为≤，分钟减少为80分钟；加试增加了一道大题，满分由l≤2—

2、35；，15O分调整为200分，考试时间由120分钟增加到N是随t变化的区域，它由不等150分钟．下面给出一试试题的解答和一些巧思式≤≤t+1所确定，t的取值妙解．范围是0≤≤1，设M和N的公一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共共面积是函数f(t)，56分．则厂(f)：．基本解法：依题意，区域M·若函数f一，且厂z’一是图1中的等腰Rt／XOAB，区域图1．厂[厂[-厂⋯厂()]]，贝0f(1)一．N是直线212一t与—t+1(0≤f≤1)之间的带形域．M与N的公共部分为图中所示的阴影部分五边形基本解法：‘·。f“

3、一f(x)-志，ACDEF(包括边界)．。．．_厂(￡)===5D￡F—S△mB—S△ODC—S△雎F考试往线·‘∥fEf(x)]一志‘===1÷。一寺(1～￡)。l一ll。．．1类似地，有f∞z一志，⋯，-厂∞z一一t。十十·一=三巧思妙解：关于五边形ACDEF面积的计算，还’、可以有如下两种途径：方法1：过点A作．z轴的垂线，将其分割为两个故_，(1)一10·直角梯形来计算．说明：这是一道常见的函数迭代问题．解题的基方法2：连结CF，将其分割为一个直角三角形本思想是归纳、猜想．CAF和一个直角梯形CDEF去求解．2．

4、已知直线Z：+Y一9=0和圆M：2+2。说明：本题的出处可参考文[1]．一8lz～8一1—0，点A在直线Z上，B、C为圆M上两4．使不等式++⋯+丽1<“点，在△ABC中，BAC=45。，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．一2007对一切正整数”都成立的最小正整数n的基本解法：设A(a，9一a)，则圆心M(2，2)到直线值为．AC的距离为d一1AMisin45。一1AM1．基本解法：设-厂()一1肺十+⋯+丽1，由于直线AC与圆M相交，所以≤，．一，从则原不等式对一切正整数”都成立的充要条件是考在竞霓赛薹之路中学数学教学

5、4-4'57线2oo9"B51~1期L亡旬l6．若方程lgk．r一21g(~+1)仅有一个实根，那么2007专>)]⋯．k的取值范围是．·’_厂(斗_1)一、厂()：1+1一1f是>0，①．基本解法：原方程等价于{+1>o，②一巧一15由A—k。一4k≥0，得是≤0或是≥4．．．，即＆>2008吉．当

6、<0时，．／2l+2一k一2<0，5C12一l>d，‘故最小正整数n的值为2009．．．-z、。同为负根．。又l十1>0，2+1<70．5．椭圆；+菩=1(Ⅱ>6>0)上任意两点P、Q，。a．．由①、②知，原方程只有一个根．若0P上(，则乘积{0PI·IOQl的最小值当k=4时，原方程有一个根一一1===1．为．厶——一基本解法：设P(}OPlCOS0，lOPIsin0)、当k>4时，321+2一k一2>0，12=1>0．’．Q(1(_)Q1c。s(±号)，jOQIsin(±号))，代入X2．z、同为正根，且≠，不合题意

7、．综上所述，是<0或k一4为所求．十==1’得巧思妙解：如图2，在同一坐标系中作出函数一(z+1)和y。—一一上1OP】：Ⅱ。b：’一kx的图象．显然，当k一4时，直1sin0；COS线与抛物线相切，原方程只有一个fOQf：(z’b。‘实根；当是>4时，直线与抛物线在第一象限内有两个不同的交点，则图2两式相加，得+：1十1．原方程有两个不同的实根，不合题意；当k<0时，直．．11线与抛物线弧在第二象限有一个交点，则原方程只有‘Ⅱ6：0Pi。IOQI!≥丽jOPl一个实根．B4l．I()Qj≥．综上所述，k

8、求．n—f一7．一个由若干数字组成的数表，从第二行起每一当且仅当10P}一IoQI一√时，上式等号行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成成立，即f(JPi·f()Qf的最小值为2a2b2干．的行，则最后一行的数是(可以用指数表示)．巧思妙解：设P(acos口，b