2008年全国高中数学联赛(A卷)一试试题解答集锦.pdf

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1、垒国裔曦蝴卷谶陕西省数学竞赛委员会刘康宁陕西师范大学数学与信息科学学院李三平今年的全国高中数学联赛由中国数学会主办、重项C，故应选D．庆市数学竞赛委员会协办，试卷仍分为一试和加试两3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1部分．与往年不同的是，考虑到各省市教育发展的不分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或均衡，试题分为A卷和B卷两种类型．下面给出A卷打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙一试试题的解答(本文称之为基本解法或改进解法)和一些巧思妙解，仅供参考．在每局中获胜的概率为÷，且各

2、局胜负相互独立，则一、选择题(本题满分36分，每小题6分)比赛停止时已打局数的期望E为()．1．函数，(z)一厶在(一。。，2)上的最小A．百241B266c274D670．百．．243值是()．基本解法：可能取值为2，4，6．A．0B．1C．2D．3记A(是一1，2，3，4)表示甲在第忌局比赛中获基本解法：。．‘z<2，．。．2—37．>0．胜，则表示乙在第是局比赛中获胜．·．．f(x)一一+(2‘．‘P(一2)一P(AA)+P(A1A2)一，当且仅当一2一z，即一1时，上式取等号．P(一4)一P(

3、A1AzA3A4)+P(A1A2A3A4)故函数厂(z)的最小值为2，选C．+P(2A。A)+P(一A。一AaA)一20，巧思妙解：)一兰±塾等P(一6)一P(A1A2A3A)+P(A1A2A3A4)(x-1)(x-3)一一—二z)z。’+P(zAs)+P(一A2—A—aA)一．当x0．·．．E一2×吾+4×+6×一百266，选B．即厂(z)在(一。。，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数．改进解法：可能的取值为2，4，6．故Ef(x)]i=：：-厂(

4、1)一2，选C．设第1局、第2局比赛为第一轮，第3局、第4局比赛为第二轮，第5局、第6局比赛为第三轮．2．设A一[一2，4)，B=：={zlz一nz一4≤0)，若BA，则实数a的取值范围为()．当一2时，第一轮甲全胜或乙全胜，则P(一2)A．[一1，2)B．[一1，2]一()+()。一5．C．Eo，33D．Eo，3)当一4时，第一轮甲、乙各胜一局，第二轮甲全改进解法：。．。A=a+16>0，．’．B≠0．设厂(z)一lz。一以z一4，则由BA，得胜或乙全胜，则P(一4)一Cj×÷{f厂(4-)2一)1

5、=22～a4~“>0,。解得。≤口<3，选D．．×[(吾)。+(÷)。]一．巧思妙解：取口一一1，得B—J二二9，当一6时，与第三轮无关，对于前两轮，每一轮甲、乙都是各胜一局，则P(一6)一c；·c{·f-23)二卜_l，不满足BA，从而可排除选项A、B；取·(号)一．口一3，得B一[一1，43，也不满足BA，从而可剔除选故Ee一，选B．{>q。或／。0q<+q,口．4．若三个棱长均为整数(单位：cm)的正方体的解得1≤g<或

6、．764cm。或586cm。B．764cm。．．掣31，所以6≤≤9．sin(A+C)sinB6==———————————————一—q·sin(B+C)sin若一6，则。z+6。一58．

7、由bz≥妻一29，得6≥6．而6≤c一6，所以6—6，此时a一22，无解；故所求取值范围是(，4~f2+1，／，选c．若f一7，则口+6。=45，有唯一解以一3，6—6；二、填空题(本题满分54分，每小题9分)若c一8，则口+6。一30，无正整数解；7．设-厂(z)=a,T+b，其中a、b为实数，厂l(z)若c一9，则a。+6。一13，有唯一解a一2，6==：3．一，(z)，+，(z)一，((z))，一1，2，3，⋯．若(z)故V1—3。+6。+7。一586或V2—2。+3。+9。一128x+381，

8、则口+6一．——一764，选A．基本解法：显然n≠1，由题设得fz+y+2—0，①(z)一z+(n，l+一。+⋯+口+1)65．方程组{xyz+一0，②：+．6．【zj，++z+—O③。的有理数解(z，y，)的个数为()．．’f7()一128x+381，A．1B．2C．3D．4·改进解法：由②得一0或z一一1．．·。．{1墨2．6—381，解得{6—3．’故n+6一．若一0，则由①、③得8．设厂(z)=COS2x-2a(1+co$)的最小值为{三解得’或