数学向量学习资料.ppt

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1、3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.不共面的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组．2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量．a＝λ1e1＋λ2e2基底正交分解741．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，都叫做基向量．不共面xa＋yb＋zca，b，c2．空间向量的正交分解及其坐标

2、表示两两垂直公共点平移起点xe1＋ye2＋ze3p＝(x，y，z)1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c答案：C答案：C答案：(1,1，－1)(－1,0,1)以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量C．若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底根据空间基底的定义逐个选项判断．

3、[解题过程]答案：B选项判断原因分析A×由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由不共面的三个向量才能表示B√基向量不共面，因此不可能有零向量C×基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个基向量两两垂直D×基底的构成必须是三个不共面的向量[题后感悟](1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间

4、的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错．答案：A[题后感悟]判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为

5、空间基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C由题目可获取以下主要信息：①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心．解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果．1．对基底的理解(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.(3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的

6、不同概念．2．怎样正确理解空间向量基本定理？(1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．(2)空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．3．如何理解空间向量与平面向量的正交分解？空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似，都需要事先提供一组基底，空间向量表示为p＝xa＋yb＋zc的形式，平面向量表示为p＝xa＋yb的形式．4．特殊向量的坐标表示(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x,0,0)；(2)当向量a平行于y轴时，横

7、坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y,0)；(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a＝(0,0，z)；(4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y,0)；(5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)；(6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a＝(x,0，y)．