平行垂直问题的向量证明方法.pdf

《平行垂直问题的向量证明方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、《数理化解题研究)2olo年第4期数学篇25+⋯++．从下略．单易行的一种方法．由于平常教学中运用较少，所以评析迭代法应该是由递推式求通项公式最简做题也就没有了准备，这应该引起我们的重视．。、t，平行垂直问题的向量证明方法江苏省如皋市磨头高中(226500)冒志红●●新课标教材倡导用空间向量法解决立体几何2)，=(一1，o，1)．题．特别是近几年高考立体几何题，都是既可以用传可：2赤．所以MNEF．统方法又可以用向量方法求解．空间向量除了可以求角和距离，还可以用来解证平行和垂直问题．本文对例2如图2，三个正此进行归纳整理，并举例说明．方形ABcD、

2、ADEF、CDEG，一P在DF上，Q在AC上，且、平行类问题111．直线平行于直线=，cQ=÷，求yJJ可证两条直线的方向向量平行．、证PQ／／CDEG．2．直线平行于平面(1)可证直线的方向向量平行于平面内的一个证明以、DC、DE图2为轴、y轴、z轴，建立空向量．同直角坐标系D—．设各正方彤边长为1，则(2)可证直线的方向向量可用平面内的两个不P(，o，1)Q1，了2共线的向量线性表示．，，0)，两=(o．2，一，一了1)．(3)可证直线的方向向量与平面的一个法向量垂直．方法1显然：(1，0，o)是平面CDEG的一3．平面平行于平面个法向量．而而

3、．：0，又PQ在平面CDEG外，所(1)可证一个平面内有两个不共面的向量都平以PQ∥面CDEG．行于另一个平面．方法2在平面CDEG内取两个不共线的向量(2)可证两个平面的法向量共线．：(0，1，o)，D---E4"：(o例1在正方体ABcD—A1B1CD，中，E、F分别，0，1)．是BC、CC的中点，、Ⅳ分别是AB、ClD的中点，求若有P———p’=Il1．D——C+12D———E’，证MN}EF．即(O，2，一了1)=(O证明如图1，分别以，m，0)+(0，O，n)=(O，DA、DC、DD，为轴、Y轴、Znz，)，轴建立空间直角坐标系得m=一一

4、}D—．设正方体棱长为2，则M(2，1，0)，N(0，l，2)，故有而=-2f一E(1，2，0)，F(0，2，1)．因此，PQ∥面CDEG．由此有=(一2，0，图1方法3RDE中点(0，0，)，知：(0，1，26数学篇《数理化解题研究)2olo年第4期的向量垂直．一)．(2)可证直线的方向向量与平面的法向量平行．可见而P0=(0，÷，一了1)=÷(o，1，一号÷)=争3．面与面垂直(1)可证某平面内的一个向量是另一个平面的。／／．法向量．(2)可证两个平面的法向量互相垂直．而在平面CDEG内，在平面CDEG外，所例4已知正三棱锥P·一C，求证AB上

5、PC．以PQ∥面CDEG．点评本例用到了证明直线与平面平行的三种证明—·P———C=(A——P一+P——台—)·P——e+方法．其中方法2用的是待定系数法；方法3中取DE：．赢+菇．中点M是关键，这需要一定的观察探索能力．由正三棱锥知AP=PC=PB，LAPC=LBPC．例3如图3，正方体ACD-1B1C1D1中，、Ⅳ、注意到(A户，P)=180。一LAPC，P、Q是相应各棱的中点，求则．赢：IIllcos(180。一LAPC)+证面ACNM∥面PQ．——IPIlPCICO8LBPC证明建立如图3的空间直角坐标系．设正方体：一lllIcosLAPC

6、+lll庇I棱长为2，则A(2，0，O)，图3co8APC=0．c(o，2，0)，(1，0，2)，B(2，2，0)，P(2，1，2)，Q(1，2，所以AB上PC．2．评注本例是利用基向量法进行运算．本例也则有=(一2，2，o)，劢=(一1，0，2)，而=可以用坐标向量法进行运算，但建系、设坐标都较麻烦．因此，应会根据题目的情况，选择恰当的向量方法(一1，1，O)，BP=(一1，0，2)．进行求解．方法1可见：2而，劢：面，则∥面例5在正三棱柱ABC．-ABC中，底边长是√2，高是1，M是AB中点，求证AB上面MCA．BPQ。A／／面BPQ．证明如图

7、4，建立空间又ACnAM=A，AC、AMc面ACNM，所以面直角坐标系一，知M(O，ACNM／／面BPQ．方法2设平面ACNM的法向量是，l=(，y，o'0(’o’0)，’o，)，贝0由以上Ae，，l_LA，有1)'c(o，一’0)(一’0’r一2+2y=0，‘L一+2z=0．1)，则：(，0，一1)，M—A图4取g=1，则，l=(2，2，1)．同样可求得平面BPQ的一个法向量是m=(1，：(，0，1)，M—C：(0，一3-，0)．11，÷)．又B】A·MA1=1+0—1=0，由=2m，知Jl∥m，所以面ACNM∥面日尸Q．——A·MC=0+0+0

8、=0，1二、垂直类问题则B1A上MA1，B1A上MC．1．线与线垂直而MAlnMC=M，所以1A上面cA1．可证两条直线的