考试统计与测量第五章.ppt

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1、第五章回归分析§5.1一元线性回归（一）§5.1一元线性回归（二）§5.1一元线性回归（三）§5.1一元线性回归（四）§5.1一元线性回归（五）§5.1一元线性回归（六）§5.2相关系数的其他表示法（一）§5.2相关系数的其他表示法（二）§5.1一元线性回归（一）回归分析是一种研究变量之间相关关系的统计方法，相关关系是指随机变量与随机变量之间的关系，相关关系和我们熟知的变量间的函数关系是不同的，函数关系是一种确定性关系，由一个变量的值可以精确得出另一个变量的值，例如，圆周长，知道了直径d就一定能得到精确的周长C值。变量x与y之间相关关系最简单的一种是线性相关关系，即x与

2、y之间可以用线性函数y=a+bx来近似表示它们之间的关系，如果这种关系式成立，我们可以由x的值得出y的估计值。设x、y为随机变量，如果x与y具有线性相关关系，我们的目的是要通过样本找出x与y之间近似直线方程表达式(5.1.1)其中称为回归直线，称为回归系数。一、如何配直线我们先假定x、y之间存在线性相关关系，要配回归直线，关健在于求出。对x、y进行n次独立实验得到n对样本数据，代入直线方程y和回归直线方程，而y与之间存在误差，设在每一个点处的误差为。由于有n个样本点对值，故有n个误差，我们设总误差为。显然，我们不能用代数和表示，这是因为误差有正有负，代数和中正负各项会抵

3、消，如果用误差的绝对值之和来表示，虽然可以避免上述缺点，但绝对值不便于进行代数运算，因此，我们用各个误差的平方和来表示，即由微积分求极值原理，总误差达到最小值时，须满足方程组(5.1.2)解此方程组(5.1.3)(5.1.4)再把代入(5.1.1)式，即得到y对x的回归直线方程，我们称以上确定的方法为最小二乘法。由于这样选择的使达到最小值，因此，回归直线是所有可能直线中最接近实验数据点的直线，也就是说，用回归直线表示x与y之间的线性相关关系与实际数据的误差比任何其它直线都小。例1从某大学数学系一年级抽出１５名学生数学分析成绩和高考数学成绩数据如表5.1，试建立对回归直线

4、方程。高考成绩数学分析成绩161723721518443922707049004900490038390688981007470455623025384434105777459295476569868085640072256800765814225372139658757656255776570096467409644894288107278518460845616116862462438444216127480547664005920138583722568897055146467409644894288表5.1159093810086498370总和10831120

5、795158507082083解：由表5.1中数据得因此，故。§5.1一元线性回归（二）二、相关系数1、样本相关系数类似于总体相关系数的定义，样本相关系数定义为其中为样本协方差，为x的样本方差，为y的样本方差。如果记，则是(5.1.6)。实际上，是总体相关系数r在统计中的具体样本实现值。例1中。§5.1一元线性回归（三）2、平方和分解公式由于从而若记则(5.1.7)称(5.1.7)式为总离差的平方和分解公式。又可见，U是总离差中由于x与y线性关系引起y变化的部分，称之为回归平方和，y的这部分离差可以通过控制的y值而掌握。是所有实验点距回归直线y的离差平方和，是由总离差中

6、分离出x对y的线性影响之外的其余偶然因素产生的误差（即随机波动产生的误差），称之为残差平方和或剩余平方和。由此我们可以看出，回归效果的好坏取决于与的大小，在总离差中占的比重越大，则回归效果越好。这表明，的绝对值越大，也越大，而越小，说明x对y的线性影响部分越显著，回归效果越好。由于当时，称x与y不相关；时，称x与y为正全相关；时，称x与y为负全相关；时，称此为正相关；时，称此为负相关。§5.1一元线性回归（四）三、相关性检验1、相关系数法的值与数据的个数n有关。附表13（相关系数临界值表）给出了显著性水平下相关系数达到显著的起码值，表中n-2为残差平方和的自由度，这是因

7、为总离差平方和自由度为n-1，而回归平方和对应于自变量的个数只有1个，又，故的自由度为n-1-1=n-2。如果，我们说在的水平下线性相关性显著，越小显著程度越高。例1中，给定n=15，查自由度为15-2=13的相关系数临界值表得到，而，因此x与y显著线性相关，所配直线方程是有意义的。2、利用F检验判断线性相关性衡量x与y之间有无线性关系，如果它们之间没有线性关系，那么，说明x的变化对y没有影响，这相当于检验假设。在H0成立的条件下，构造统计量F（方差比）(5.1.9)给定显著性水平，查自由度为的分布单侧临界值表（附表6）得到临界值，如果x