高数讲座-重积分选讲.pdf

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1、一.关于重积分的概念1.利用重积分定义求极限重积分是用极限定义的,反过来也可以用它来求某种和的极限.1ni1nn1nn2回忆:limffxdx,例如:lim22lim22nni1n0ni1ninni1nin111dx1ilim22,口诀:“提出,凑”,类似地,nni11i01x4nnnnn1ij1ijlim2f,fxyd,,口诀:“提出2,凑和”,nni1j1nn0,10,1nnn

2、nnij1nnij111例如:lim4lim2xydxdxydy.ni1j1nnni1j1nn0,10,1004nnnn3n1n例.lim22lim222ni1j1ninjnni1j1ninjnn1111ddxdyln2lim2222.nni1j1ij0,10,11x1y01x01y4112nnnn

3、nk1nnnnk3例.lim22lim322ni1j1k1nninjnni1j1k1nninjknnn1nzlim322dvln2;nni1j1k1ij0,10,10,11x1y8112nn1ijk口诀:“提出,凑,和”.3nnnn2.轮换不变性xy,yx,设DD,则fxyd,fyxd,.DDafxbfy

4、例.求Id,其中Dx:y1.Dfxfyafybfxab解.Iddab.Dfyfx2D1例.求22,其中22IsinxcosydDx:y1.D12222解.Isinxysinxyd2D12222122sinyxsinyxdsinyxd22DD2112dsind1cos1.22002x1e22例.证明:d,其中Dx:

5、y1.y2D1efx1fxfy证.若fx0,则ddd,证毕.Dfy2DfyfxD2bb1例.设2fx连续,证明:fxdxfxdx.baaabbb证.2222bafxdxdyfxdxfxdfydaaaab,ab,ab,ab,2b122fxfydfxfydfxdx,证毕.

6、2ab,ab,ab,ab,a例.设px,fx,gxab,,且px0,fx,gx单增,证明:pxfxpygydpxfypygyd.ab,ab,ab,ab,证.左式-右式pxpygyfxfydab,ab,pypxgxfyfxdab,ab,1pxpygygx

7、fxfyd0,证毕.2ab,ab,21111例.设fx连续,证明:dxfxfydyfxdx.20x0111证.左式dyfyfxdxfxfydxdy,即得,证毕.20y0,10,12311y11例.设fx连续,证明:dxdyfxfyfzdzfxdx.3!0xx011z11证.左式fxdxdzfzfydyfxdxfyfz

8、dydz20xx0x,1x,11121xx211fxfydydxfydyfydydx220x0111231xxx11fydydfydyfydy,即得,证毕.2601110注.对于第一类的线面积分有类似的轮换不变性.二.关于重积分的计算yxyln1x例.求Id,其中D由xy1与两坐标轴围成.D1xyxyx