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《研究生《矩阵理论》复习题(辽宁科技大学).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、辽宁科技大学研究生考试专用纸矩阵论矩阵论复习题符号及说明：HA(矩阵A的共轭转置)；trA(方阵A的迹，A的主对角元之和)nρ(A)(方阵A的谱半径)；C(复n维列向量集合，n维复向量空间)；m×nm×nC(复m×n矩阵集合);C（秩为r的复m×n矩阵集合);ϕ(λ)(方阵A的特征多项式);rm(λ)(方阵A的最小多项式);f(λ)
2、g(λ)(多项式f(λ)整除g(λ));AG(A)(方阵A的第k个盖尔圆);R(A)(矩阵A的值域，A的像空间);k（一）向量范数与矩阵范数几种常见的向量范数与矩阵范数：1.向量范数nn2L−1范数：x=
3、x;L−2范数:x=x;L−∞范数:x=maxx;1∑i2∑i∞iii=1i=12.矩阵范数nnnn2矩阵m1-范数：Am=∑∑aij;矩阵m2-范数或F范数:Am=AF=∑∑aij;12i=1j=1i=1j=1n矩阵m∞-范数:Am=nmaxaij；矩阵1-范数或列和范数:A=max∑aij;∞i,j1ji=1nH矩阵2-范数或谱范数:A=ρ(AA);矩阵∞-范数或行和范数:A=max∑aij；2∞ij=11.已知向量X=(i,-2,i+1,0,1),分别求其下列范数：（1）L1—范数（2）L2—范数（3）L∞—范数5解：（1）X1
4、=∑xi=1+2+2+0+1=4+2i=152（2）X2=∑xi=1+4+2+0+1=22i=1（3）X∞=maxxi=x2=21≤i≤52010年1月jiaxiaowei辽宁科技大学研究生考试专用纸矩阵论⎡i01−1⎤⎡121⎤⎢⎥⎢⎥⎢0i+1−1i⎥2.已知矩阵A=212,B=试求A和B的下列范数：⎢⎥⎢−1i−101⎥⎢⎣311⎥⎦⎢⎥⎣1−i1−1⎦（1）.m1（2）.m2（3）.F（4）.m∞（5）.1（6）.2（7）.∞解:33(1)Am1=∑∑aij=14i=1j=144Bm1=∑∑bij=10+22i=1j=1332
5、(2)Am2=∑∑aij=26i=1j=1442Bm2=∑∑bij=14i=1j=1332(3)AF=∑∑aij=26i=1j=1442BF=∑∑bij=14i=1j=1(4）Am∞=nmaxaij=3×3=9ijBm∞=nmaxbij=42ij3（5）A1=max∑aij=1+2+3=61≤j≤3i=14B1=max∑bij=22+11≤j≤41（6）(H)3665A2=ρAA=maxλn=max{7,5,}=551≤n≤32010年1月jiaxiaowei辽宁科技大学研究生考试专用纸矩阵论(H)B2=ρBB=maxλn=max{0
6、,5−14,5+14,6}=5+141≤n≤4⎡1478⎤⎡700⎤初等变换H⎢⎥⎢⎥注：AA=765→050⎢⎥⎢⎥⎢⎣856⎥⎦⎢⎣0036⎥⎦5⎡31−2i1−ii−2⎤⎡0000⎤⎢⎥⎢⎥1+2i52i−1−i05−1400BHB=⎢⎥→⎢⎥⎢i+1−2i−13−i−2⎥⎢005+140⎥⎢⎥⎢⎥⎣−i−2ii−24⎦⎣0006⎦3（7）A∞=max∑aij=51≤i≤3j=14B∞=max∑bij=41≤i≤4j=1⎛−1⎞⎡−102i⎤⎜⎟⎢⎥⎜2⎟3.已知A=3+i51+i0,x=试求Ax1，Ax2，Ax∞，A1，A∞⎢
7、⎥⎜0⎟⎢⎣2i2−4⎥⎦⎜⎜⎟⎟⎝−i⎠T解：Ax=(2,7−i,−2+6i)Ax1=2+50+40Ax2=4+50+40=94Ax∞=50A1=max{3+10,6,4+2,5}=3+10A∞=max{4,10+2+5,9}=10+2+5（二）矩阵的QR分解基础知识nHH1.定义：设u∈C是单位向量，即uu=1,称H=I−2uu为Householder矩阵n或初等反射矩阵。由Householder矩阵H确定的C上的线性变换y=Hx称为Householder变换或初等反射变换。n×n2.定义：设A∈C,如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三
8、角矩阵R,使得A=QR则称之n×n为A的QR分解或酉-三角分解。当A∈R时，称A=QR为A的正交-三角分解。n×nn×n3.定理：设A∈C,则A可惟一地分解为A=QR，其中Q是n阶酉矩阵，R∈Cnn是具有正对角元的上三角矩阵。2010年1月jiaxiaowei辽宁科技大学研究生考试专用纸矩阵论⎡011⎤1.已知A=⎢023⎥,求A的QR分解⎢⎥⎢⎣212⎥⎦解：T令a1=(0,0,2),取α1=a12=2,作单位向量a1−α1e11Tu==(−1,0,1)1a1−α1e122⎡001⎤⎡212⎤T⎢⎥⎢⎥令H1=I−2u1u1=010
9、,则H1A=02-3⎢⎥⎢⎥⎢⎣100⎥⎦⎢⎣011⎥⎦⎛2⎞又因b2=⎜⎟,取α2=b22=5,作单位向量⎜⎟⎝1⎠~~b2−α2e11Tu2==(2−5,2)，~b2−α2e1210−45~T1⎡25−45−2⎤H2
